Teiloro eilutė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 4 |
S wiki sintakse 3 |
||
Eilutė 1:
[[Vaizdas:sintay.svg|thumb|Teiloro polinomo laipsniui didėjant, jis tampa artimesnis aproksimuojamai funkcijai. Ši iliustracija parodo <font color=#333333><math>\sin x</math></font> ir Teiloro aproksimacijos grafiką. Teiloro polinomo laipsniai atitinkamai <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> ir <font color=#888888>13</font>.]]
'''Teiloro eilutė''' – 1712 m. [[Brook Taylor|B. Teiloro]] aprašyta formulė, pagal kurią [[polinomas|polinomu]] galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus ''a'' aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.
Formulė:
: <math>f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_N</math>, kai ''x'' pakankamai artimas ''a''.
Čia n! yra ''n'' [[faktorialas]], o <math>f^{(n)}(a)</math> žymi n - tąją funkcijos ''f'' [[išvestinė|išvestinę]] taške ''a''.
Eilutė 17:
Eksponentė:
: <math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ su visais } x\!</math>
Natūrinis logaritmas:
: <math>\ln(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ su } |x|\le 1, \, x\not= 1</math>
: <math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ su } |x|\le 1, \, x\not= -1</math>
Kvadratinė šaknis:
: <math>\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ for } |x|<1\!</math>
Trigonometrinės funkcijos (x čia reiškiamas radianais):
: <math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ su visais } x\!</math>
: <math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ su visais } x\!</math>
: <math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ su } |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>
:: kur Bn yra n - tasis Bernulio skaičius
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:
: <math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ su } |x| < 1\!</math>
: <math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ su } |x| \le 1\!</math>
| |||