Paviršinis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 2 |
S wiki sintakse 3 |
||
Eilutė 9:
[[Vaizdas:apvpar.PNG|thumb|Paraboloidas.]]
* Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS,</math> kur ''S'' dalis paraboloido <math>z=1-x^2-y^2,</math> atpjauto plokštuma <math>z=0.</math>
: Paviršius ''S'', aprašomas lygtimi <math>z=1-x^2-y^2,</math> projektuojasi ant plokštumos ''xOy'' į sritį ''D'', apribota [[apskritimas|apskritimu]] <math>x^2+y^2=1</math> (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai <math>z=0</math>). Todėl sritis ''D'' yra [[skritulys]] <math>x^2+y^2\le 1.</math> Šiame skritulyje funkcijos <math>z=1-x^2-y^2,</math> <math>z_x'(x,y)=-2x,</math> <math>z_y'(x,y)=-2y</math> netrūkios. Pagal ''pirmojo tipo paviršinio integralo formule'' <math>\sqrt{1+z_x'^2(x; y)+z_y'^2(x; y)},</math> gauname
<math>\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS=\iint_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=</math> <math>=\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy.</math>
: Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates <math>x=\rho\cos\phi,</math> <math>y=\rho\sin\phi,</math> randame
<math>\iint_D(1+4x^2+4y^2)dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^1(1+4\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}({\rho^2\over 2}+\rho^4)|_0^1={3\over 2}\int_0^{2\pi}d\phi={3\over 2}\phi|_0^{2\pi}=3\pi.</math>
Eilutė 19:
<math>=\iint_S P(x,y,z)dydz+\iint_SQ(x,y,z)dzdx+\iint_SR(x,y,z)dxdy.</math>
: Paviršius ''S'' projektuojamas į sritį ''D'' plokštumoje ''xOy'':
<math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy.</math>
: Paviršius ''S'' projektuojamas į sritį ''D'' plokštumoje ''yOz'':
<math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(f(y,z),y, z)dydz.</math>
: Paviršius ''S'' projektuojamas į sritį ''D'' plokštumoje ''xOy'':
<math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,f(x,z),z))dzdx.</math>
Eilutė 29:
[[Vaizdas:antrpa.PNG|thumb|Išgaubtas paviršius.]]
* Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S(y^2+z^2)dxdy,</math> kur ''S'' - viršutinė dalis paviršiaus <math>z=\sqrt{1-x^2},</math> atkirsta plokštumomis <math>y=0,</math> <math>y=1.</math>
: Projekcija ''D'' duotojo paviršiaus į plokštumą ''xOy'' yra [[stačiakampis]], nusakomas neligybėmis <math>-1\le x\le 1,\; 0\le y\le 1.</math> Pagal formulę <math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy</math> randame
<math>\iint_S(y^2+z^2)dxdy=\iint_D[y^2+(\sqrt{1-x^2})^2]dxdy=\int_{-1}^1 dx\int_0^1(y^2+1-x^2)dy=</math>
<math>=\int_{-1}^1({y^3\over 3}+y-x^2y)|_0^1 dx=\int_{-1}^1({4\over 3}-x^2)dx=({4\over 3}x-{x^3\over 3})_{-1}^1={4\over 3}-{1\over 3}-(-{4\over 3}+{1\over 3})=1+1=2.</math>
* Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy,</math> kur ''S'' viršutinė dalis plokštumos <math>x+z-1=0,</math> atkirsta plokštumomis <math>y=0,</math> <math>y=4</math> ir gulinti pirmajame oktante.
: Pagal apibrėžimą,
<math>\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=</math>
<math>=\iint_{D_1}x(y,z)dydz+\iint_S ydzdx+\iint_{D_2}z(x,y)dxdy.</math>
Eilutė 47:
[[Vaizdas:paksfer.PNG|thumb|Pakilusi iki pusės nupjauta [[sfera]].]]
* Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S(z-R)^2 dxdy</math> pagal viršutinę pusę pusiasferės <math>x^2+y^2+z^2=2Rz,</math> <math>R\le z\le 2R.</math>
: Duotajį paviršių ''S'' galima aprašyti lygtimi
: <math>x^2+y^2+z^2=2Rz,</math>
: <math>x^2+y^2+(z-R)^2=R^2,</math>
: <math>(z-R)^2=R^2-x^2-y^2,</math>
: <math>z-R=\sqrt{R^2-x^2-y^2},</math>
: <math>z=R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}.</math>
Todėl pagal formulę <math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy</math> turime:
Eilutė 63:
[[Vaizdas:ktpl.PNG|thumb|Plokštuma ''S''.]]
* Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy</math> pagal viršutine pusę dalies plokštumos<math> x+2z=2,</math> gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma <math>y=4.</math>
Pagal nustatymą
<math>\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy=\iint_S x dydz+\iint_S ydzdx+\iint_S zdxdy.</math>
<math>\iint_S x dydz=\iint_{D_1}(2-2z)dydz=2\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz=4.</math>
: <math>\iint_S ydzdx=0,</math> nes plokštuma ''S'' lygiagreti ašiai ''Oy''.
: <math>\iint_S zdxdy=\iint_{D_2}(1-{x\over 2})dxdy=\int_0^4 dy\int_0^2(1-{x\over 2})dx=\int_0^4(x-{x^2\over 4})|_0^2 dy=</math>
<math>=\int_0^4(2-{2^2\over 4})dy=\int_0^4 dy=y|_0^4=4.</math>
: Todėl,
: <math>\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.</math>
| |||