Kompleksinis skaičius: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 2 |
S wiki sintakse 3 |
||
Eilutė 1:
'''Kompleksinis skaičius''' yra dviejų realiųjų skaičių pora z:
: <math>z = (a , b) =a + b \cdot i = Re(z) + iIm(z)</math>,
kur ''a'' ir ''b'' – [[Realusis skaičius|realieji skaičiai]],
o <math>i = (0,1)</math> – [[menamasis vienetas]] tenkinantis sąlygą:
: <math>i^2 = -1</math>
Nors priimta, kad <math> i = \sqrt{-1} </math>, tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis (žr. [[menamasis vienetas]]).
Eilutė 32:
Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (''a'', ''b'') pora su įvestomis operacijomis:
: <math>(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) \,</math>
: <math>(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad). \,</math>
Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro [[laukas (matematika)|lauką]], kompleksinių skaičių lauką, žymimą '''C''' (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).
Realusis skaičius ''a'' yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (''a'', 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas '''R''' tampa '''C''' dalimi. [[Menamasis vienetas]] ''i'' apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:
: <math>(a, b) = a \cdot (1, 0) + b \cdot (0, 1) = a + bi \quad \text{ir} \quad i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1.</math>
Lauke '''C''' mes turime:
Eilutė 58:
Čia
: <math> r = \sqrt{a^2 + b^2}</math>,
: <math>\cos \varphi\ = \frac{a}{r},</math>,
: <math>\sin \varphi\ = \frac{b}{r},</math>.
Formulė kai <math>r = 1</math> yra vadinama [[Oilerio formulė|Oilerio formule]]: <math>e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi</math>.
Eilutė 69:
===Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje===
Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:
: <math>z=z_1 z_2 =r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2}
= r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,</math>
dalyba:
: <math>z=\frac{z_1}{z_2} =\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}}
= \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}. \,</math>
Eilutė 83:
Šaknies traukimo operacija:
<math> \omega = \sqrt[n]{z} </math>,
<math> \omega_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} + i \sin{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} \right) </math> - egzistuoja lygiai ''n'' skirtingų šaknų. Kai ''k'' kinta nuo ''0'' iki ''(n-1)'' visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai ''k'' > ''n'', gaunamos reikšmės kartojasi.
| |||