Furjė eilutė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 2 |
S wiki sintakse 3 |
||
Eilutė 2:
[[Matematika|Matematikoje]] '''Furjė eilutė''' yra periodinių funkcijos vaizdavimas kaip tokio pavidalo periodinių funkcijų suma;
: <math>x\mapsto e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),</math>
kurios yra ''e''<sup>''i x''</sup> [[harmonika|harmonikos]]. Pagal [[Eulerio formulė|Eulerio formulę]], eilutė gali būti atitinkamai išreikšta trigonomentinėmis (sin, cos) funkcijomis.
Šios eilutės pavadintos prancūzų matematiko [[Žanas Baptistas Furjė|Žano Baptisto Furjė]] vardu. Furjė pirmasis sistemingai tyrė begalines eilutes, prieš tai tirtas [[Euleris|Eulerio]], Dalambero ir Danielio Bernulio. Furjė šias eilutes panaudojo šilumos lygties sprendime, kurio pirmuosius rezultatus paskelbė [[1807]] ir [[1811]], o [[1822]] metais išleido ''Théorie analytique de la chaleur''. Vėliau Furjė rezultatus patikslino ir formalizavo Dirichlė ir [[Bernardas Rymanas|Rymanas]].
==Furjė eilučių apibrėžimas==
Tarkime, jog ''f''(''x''), kompleksinių reikšmių realiųjų argumentų funkcija, yra periodinė su 2[[pi|π]] periodu, taip pat jos absoliučios reikšmės kvadrato integralas intervale nuo 0 iki 2π yra baigtinis.
: <math>F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)(\cos(nx)-i\sin(nx))\,dx.</math>
Tada ''f''(''x'') vaizduojamas Furjė eilute:
: <math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math>
Specialiu atveju, kai ''f''(''x'') reikšmės yra realieji skaičiai, galima keisti
: <math>e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\!</math>
ekvivalenčiu ''f''(''x'') vaizdavimu kaip begalinę tiesinę funkcijų <math>\cos(nx) \,\!</math> ir <math>\sin(nx) \,\!</math> kombinaciją:
: <math>f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math>, kur
: <math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx</math> ir <math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx</math>
kas atitinka <math>F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,\!</math> ir <math>F_n = F_{-n}^*.</math>
| |||