Paviršinis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų

<math>\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_D f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+({\partial z(x,y)\over\partial x})^2+({\partial z(x,y)\over\partial y})^2}dxdy.</math>

 

*Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S\sqrt{1+4x^2+4y^2}dS,</math> kur ''S'' dalis paraboloido <math>z=1-x^2-y^2,</math> atpjauto plokštuma <math>z=0.</math>

:Paviršius ''S'', aprašomas lygtimi <math>z=1-x^2-y^2,</math> projektuojasi ant plokštumos ''xOy'' į sritį ''D'', apribota [[apskritimas|apskritimu]] <math>x^2+y^2=1</math> (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai <math>z=0</math>). Todėl sritis ''D'' yra [[skritulys]] <math>x^2+y^2\le 1.</math> Šiame skritulyje funkcijos <math>z=1-x^2-y^2,</math> <math>z_x'(x,y)=-2x,</math> <math>z_y'(x,y)=-2y</math> netrūkios. Pagal ''pirmojo tipo paviršinio integralo formule'' <math>\sqrt{1+z_x'^2(x; y)+z_y'^2(x; y)},</math> gauname

===Pavyzdžiai===

 

*Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S(y^2+z^2)dxdy,</math> kur ''S'' - viršutinė dalis paviršiaus <math>z=\sqrt{1-x^2},</math> atkirsta plokštumomis <math>y=0,</math> <math>y=1.</math>

:Projekcija ''D'' duotojo paviršiaus į plokštumą ''xOy'' yra [[stačiakampis]], nusakomas neligybėmis <math>-1\le x\le 1,\; 0\le y\le 1.</math> Pagal formulę <math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy</math> randame

<math>\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.</math>

 

*Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S(z-R)^2 dxdy</math> pagal viršutinę pusę pusiasferės <math>x^2+y^2+z^2=2Rz,</math> <math>R\le z\le 2R.</math>

:Duotajį paviršių ''S'' galima aprašyti lygtimi

<math>={R^4\over 4}\phi|_0^{2\pi}={\pi R^4\over 2}.</math>

 

*Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S x dydz+ydzdx+zdxdy</math> pagal viršutine pusę dalies plokštumos<math> x+2z=2,</math> gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma <math>y=4.</math>

Pagal nustatymą