Paskalio trikampis: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S robotas Keičiama: fa:مثلث خیام |
Praktiškai parašyta iš naujo. Versta iš angl. wiki. |
||
Eilutė 1:
[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|225px|Pirmosios šešios Paskalio trikampio eilutės.]]
Matematikoje '''Paskalio trikampis''' yra geometrinis [[deriniai|derinių]] išdėstymas. Paskalio trikampis yra pavadintas jį tyrinėjusio [[Prancūzija|prancūzų]] fiziko ir matematiko [[Blezas Paskalis|Blezo Paskalio]] ([[1623]]-[[1662]]) vardu, bet jis buvo atrastas bei studijuotas ir daug anksčiau.
{|cellspacing="0" align="right" style="background-color: #BBD6A1; text-align: right; border: 1px solid black; margin-left: 3px;"▼
|-style="background-color: white; text-align: center; border-bottom: 1px solid black;"|▼
== Konstrukcija==
|width="20" style="border-bottom: 1px solid black;"|n||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{0}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{1}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{2}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{3}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{4}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{5}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{6}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{7}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{8}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{9}_{n}</math>||style="border-bottom: 1px solid black;"|<math>C^{10}_{n}</math>▼
[[Image:PascalTriangleAnimated2.gif|150px|right|thumb|Kiekvienas trikampio skaičius (išskyrus pirmajį) yra dviejų virš jo esančių skaičių suma.]]
Paskalio trikampio konstravimas prasideda nuo vieneto parašymo. Tai yra nulinė trikampio eilutė. Sekančiose eilutėse elementus galima rasti sudėjus du virš jo esančius skaičius. Jei kurio nors iš viršutinių skaičių nėra, jo vietoje reikia įstatyti nulį. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje pirmas skaičius gaunamas viršutinėje dešinėje pusėje esantį vienetą sudėjus su įsivaizduojamu nuliu viršutinėje kairėje pusėje. O sudėjus trečios eilutės skaičius 1 ir 3 gaunamas ketvirtos eilutės skaičius 4. Remiantis formule Paskalio trikampį galima tęsti be galo.
n-tosios trikampio eilutės k-tasis elementas aprašo derinį <math>C^{k}_{n}</math>. Paskalio trikampis konstruojamas pagal derinių savybę <math>C^{k}_{n} + C^{k+1}_{n} = C^{k+1}_{n+1}</math>. Pavyzdžiui, <math>C^{1}_{6} + C^{2}_{6} = C^{2}_{7}</math> (žemiau esančioje lentelėje pažymėta raudonu kontūru).
▲{|cellspacing="0" align="
▲|width="
|-
|style="background-color:
|-
|style="background-color: white; text-align: center; border-right: 1px solid black;"|1||1||1|
eilutė 19 ⟶ 26:
|-
|style="background-color: white; text-align: center; border-right: 1px solid black;"|7||1||7||style="border-left: 1px solid red; border-right: 1px solid red; border-bottom: 1px solid red"|21||35||35||21||7||1|
|}
{{clear}}
==Trikampis==
Žemiau yra pavaizduotas Paskalio trikampis iki šešioliktosios eilutės.
[[Image:Pascal's Triangle rows 0-16.svg|720px]]
==Panaudojimas==
===Dvinarių skleidiniai===
Paskalio trikampis nusako išskleistų dvinarių koeficientus. Pvz.:
:(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> + 2''xy'' + ''y''<sup>2</sup> = '''1'''''x''<sup>2</sup>''y''<sup>0</sup> + '''2'''''x''<sup>1</sup>''y''<sup>1</sup> + '''1'''''x''<sup>0</sup>''y''<sup>2</sup>.
Reikia pastebėti, kad koeficientai 1, 2, 1 yra antrosios Paskalio trikampio eilutės numeriai. Bendra x + y tipo dvinarių pakeltų [[natūralusis skaičius|natūraliuoju skaičiumi]] iškleidimo formulė yra
:(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> = ''a''<sub>0</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup>''n''−1</sup>''y'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup> + … + ''a''<sub>''n''−1</sub>''xy''<sup>''n''−1</sup> + ''a''<sub>''n''</sub>''y''<sup>''n''</sup>,
kur koeficientai ''a''<sub>''i''</sub> yra n-tosios Paskalio trikampio eilutės skaičiai. Matematiškai tą būtų galima užrašyti taip:
:<math>a_i = {n \choose i} </math>
arba
:<math>a_i = C^{i}_{n}</math>
Tai yra [[Binomo formulė]].
===Panaudojimas kombinatorikoje===
Paskalio trikampis taip pat gali būti naudojamas derinių skaičiavimui. Jei reikia sužinoti, kiek skirtingų būdų yra pasirinkti k daiktų, jei iš viso yra n daiktų, tą galime suskaičiuoti pagal formulę:
Kadangi būtent ši formulė apskaičiuoja ir Paskalio trikampio n-tosios eilutės k-tąjį elementą, vietoje skaičiavimų kartais yra patogiau pasinaudoti trikampiu. Pavyzdžiui, turime 12 krepšininkų ir norime sužinoti, kiek skirtingų starto penketukų yra įmanoma iš jų sudaryti. Iš pradžių reiktų surasti dvyliktą Paskalio trikampio eilutę (turint omeny, kad pirmoji eilutė yra nulinė) ir tada rasti tos eilutės penktąjį elementą (vėlgi turint omeny, kad pirmasis parašytas skaičius yra nulintasis eilutės elementas). Šiu atveju atsakymas būtų 792 būdai.
==Taip pat skaitykite ==
*[[Binomo formulė]]
*[[Deriniai]]
[[Category:Kombinatorika]]
| |||