Gauso funkcija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
SNėra keitimo santraukos |
Nėra keitimo santraukos |
||
Eilutė 7:
Gauso funkcijos yra plačiai paplitusios įvairiose mokslo srityse - [[statistika|statistikoje]], kur jos aprašo [[Normalusis skirstinys|normalųjį]] [[tikimybė]]s [[tankis|tankio]] skirstinį, [[signalas|signalų]] teorijoje, kur jos aprašo Gauso [[filtras|filtrus]], vaizdų apdorojime, kur dvimatė Gauso funkcija naudojama "blur" filtro [[algoritmas|algoritme]], bei [[fizika|fizikoje]], kur jos yra [[šiluma|šilumos]] pernašos ir parabolinės [[difrakcija|difrakcijos]] teorijos [[Diferencialinė lygtis|diferencialinių lygčių]] sprendiniai.
==Savybės==
Gauso funkcijos yra gaunamos į eksponentinės funkcijos argumentą bet kokį antros eilės polinomą, tokiu būdu, Gauso funkcijos logaritmas visuomet bus kvadratiniu desniu aprašoma funkcija.
Signalų teorijoje yra parametras ''c'' yra susijęs su [[Plotis pusiniame aukštyje|pločiu pusiniame aukštyje]] (angl. "Full Width at Hald Maximum, sutr. FWHM) sekančiu sąryšiu
: <math>d_{\mathrm{FWHM}} = 2 \sqrt{2 \ln 2}\ c = 2.35482\ldots \cdot c.</math>
Matematikoje, parametras ''c'' gali būti interpretuotas kaip dvejų persilenkimo taškų padėtį nusakantis parametras. Persilenkimo taškai randasi ties ''x'' = ''b'' − ''c'' and ''x'' = ''b'' + ''c''.
Gauso funkcijos yra [[analitinė funkcija|analitinės]], jų [[Riba (matematika)|riba]], kai <math>x\to\pm\infty</math>, yra 0.
Gauso funkcijos priklauso elementarių funkcijų šeimai, tačiau neturi [[Pirmykštė funkcija|pirminės funkcijos]]; Gauso funkcijos [[integralas]] yra [[paklaidų funkcija]]. Nežiūrint į tai, jų apibrėžtas integralas per visą realiųjų skaičių ašį surandamas tiksliai [[Gauso integralas|Gauso integralo]] pagalba
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}</math>
ir po pertvarkimu gaunama
:<math>\int_{-\infty}^\infty a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }\,dx=ac\cdot\sqrt{2\pi}.</math>
Integralo vertė yra vienetinė tik tuomet, kai ''a'' = 1/(''c''√(2π)), šiuo atveju Gauso funkcija yra [[tikimybės tankis|tikimybės tankio]] [[funkcija]], aprašanti [[normalusis skirstinys|normalųjį skirstinį]], žinoma statistikoje. Jis aprašo atsitiktinių dydžių su [[tikėtina vertė]] μ = ''b'' ir [[vidutinis nuokrypis|vidutiniu nuokrypiu]] σ<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup>. Gauso funkcijų pavyzdžiai pateikti paveiksliuke
Atlikdami Gauso funkcijos [[Furjė transformacija|Furjė transformaciją]], kuomet ''a'', ''b'' = 0 ir ''c'', yra gaunama kita Gauso funkcija su parametrais with parameters ''ac'', ''b'' = 0 ir 1/''c''. Tokiu būdu, Gauso funkcijos su ''b'' = 0 ir ''c'' = 1 nėra iškraipomos Furjė transformacijos (jos yra Furjė transformacijos [[tikrinė funkcija|tikrinės funkcijos]], atitinkančios tikrinę vertę 1).
Dvejų Gauso funkcijų sandauga ir [[sąsuka]] yra taip pat Gauso funkcija.
== Dvimatė Gauso funkcija ==
[[Image:Gaussian 2d.png|thumb|300px|Gauso funkcija dvimatėje erdvėje. ''A'' = 1, ''x''<sub>o</sub> = 0, ''y''<sub>o</sub> = 0, σ<sub>''x''</sub> = σ<sub>''y''</sub> = 1]]
Dalinis dvimatės Gauso funkcijos atvejis yra
:<math>f(x,y) = A e^{- \left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2} + \frac{(y-y_o)^2}{2\sigma_y^2} \right)}.</math>
Čia dydis ''A'' yra [[amplitudė]], ''x''<sub>o</sub>,y<sub>o</sub> yra viršunės padėtis ir σ<sub>''x''</sub>, σ<sub>''y''</sub> yra pločiai ''x'' ir ''y'' kryptimis.
Bendru atveju dvimate Gauso funkcija užrašoma taip
:<math>f(x,y) = A e^{- \left(a(x - x_o)^2 + 2b(x-x_o)(y-y_o) + c(y-y_o)^2 \right)}</math>
kur matrica
:<math>\left[\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}\right] </math>
yra teigiamai apibrėžta.
[[Kategorija:Matematika]]
| |||