|
:<math> E = \frac{p^2}{2m}={(mv)^2\over 2m}={mv^2\over 2}. </math>
Gavome [[kinetinė energija|kinetinės energijos]] formulę, kuri įrodo, kad Šrėdingerio lygtis išspresta teisingai. ''x'' yra koordinate vienmatėje erdvėje (nejudanti), o ''t'' yra laikas ir taip kvantinė dalelė aprašoma bangine funkcija.
==Šredingerio lygtis sferinėse koordinatėse==
{{Copy to Wikibooks}}
:<math>-{\hbar^2\over 2\mu}[{1\over r^2}{\partial\over \partial r}(r^2{\partial \over\partial r})+{1\over r^2\sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial\over\partial \theta})+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2\over \partial\phi^2}+V(r)]\Psi(r,\theta,\phi)=E\Psi(r,\theta,\phi),</math>
<math>-{\hbar^2\over 2\mu r^2}[{\partial\over \partial r}(r^2{\partial \Psi\over\partial r})+{1\over \sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial \Psi\over\partial \theta})+{1\over \sin^2\theta}{\partial^2 \Psi\over \partial\phi^2}]+(V(r)-E)\Psi=0,</math>
:<math>\; \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi),</math>
<math>Y{\partial\over \partial r}(r^2{\partial R\over\partial r})+{R\over \sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial Y\over\partial \theta})+{R\over \sin^2\theta}{\partial^2 Y\over \partial\phi^2}-{2\mu r^2\over \hbar^2}(V(r)-E)RY=0,</math>
<math>{1\over R}{\partial\over \partial r}(r^2{\partial R\over\partial r})-{2\mu r^2\over \hbar^2}(V(r)-E)=-{1\over Y}({1\over \sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial Y\over\partial \theta})+{1\over \sin^2\theta}{\partial^2 Y\over \partial\phi^2})=l(l+1),</math>
<math>{1\over R}(2r\cdot {d R\over d r}+r^2 \cdot{d^2 R\over dr^2})-{2\mu r^2\over \hbar^2}(V(r)-E)=-{1\over Y}[{1\over \sin\theta}(\cos\theta{\partial Y\over \partial\theta}+\sin\theta\cdot{\partial^2 Y\over\partial\theta^2})+{1\over\sin^2\theta}\cdot{\partial^2 Y\over\partial\phi^2}]=l(l+1),</math>
kur ''l'' - [[Elektronų konfigūracija|šalutinis kvantinis skaičius]]: 0, 1, 2, 3...
Radialinė lygtis:
:<math>{1\over R(r)}{d\over d r}(r^2{d R(r)\over d r})-{2\mu r^2\over \hbar^2}(V(r)-E)=l(l+1),</math>
:<math>-{\hbar^2\over 2\mu r^2}{d\over dr}(r^2 {dR\over dr})+[V(r)-E+{\hbar^2\over 2\mu r^2}l(l+1)]R(r)=0;</math>
<math>R(r)={u(r)\over r};\; {dR\over dr}={1\over r}{du(r)\over dr}-{u(r)\over r^2};\; r^2{dR(r)\over dr}=r{du(r)\over dr}-u(r);\; </math>
<math>{d\over dr}(r^2 {dR\over dr})={d\over dr}(r{du(r)\over dr}-u(r))={du(r)\over dr}+r{d^2 u(r)\over dr^2}-{du(r)\over dr}=r{d^2 u(r)\over dr^2},</math>
:<math>-{\hbar^2\over 2\mu r^2}r{d^2 u(r)\over dr^2}+[V(r)-E+{\hbar^2\over 2\mu r^2}l(l+1)]{u(r)\over r}=0,</math>
:<math>-{\hbar^2\over 2\mu}{d^2 u(r)\over dr^2}+[V(r)+{\hbar^2\over 2\mu r^2}l(l+1)]u(r)=Eu(r);\; V_{ef}=V(r)+{\hbar^2\over 2\mu r^2}\cdot l(l+1); \; Eu(r)=i\hbar {d\over dr} u(r),</math>
:<math>-{h^2\over 2\mu}{d^2 u(r)\over dr^2}+V_{ef}u(r)=i\hbar {d\over dr} u(r).</math>
Atskirimas kintamųjų kampinėje lygtyje:
:<math>-{1\over Y}({1\over \sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial Y\over\partial \theta})+{1\over \sin^2\theta}{\partial^2 Y\over \partial\phi^2})=l(l+1),</math>
:<math>\sin\theta{\partial\over \partial\theta}(\sin\theta{\partial Y\over\partial\theta})+l(l+1)\sin^2\theta\cdot Y(\theta,\phi)+{\partial^2 Y\over\partial\phi^2}=0,</math>
:<math>Y(\theta,\phi)=O(\theta)F(\phi),</math>
:<math>F\sin\theta{\partial\over \partial\theta}(\sin\theta{\partial O\over\partial\theta})+l(l+1)\sin^2\theta\cdot O(\theta)F(\phi)+O{\partial^2 F\over\partial\phi^2}=0,</math>
:<math>{1\over O}\sin\theta{\partial\over \partial\theta}(\sin\theta{\partial O\over\partial\theta})+l(l+1)\sin^2\theta=-{1\over F}{\partial^2 F\over\partial\phi^2}=m^2,</math>
:<math>\sin\theta{\partial\over \partial\theta}(\sin\theta{\partial O\over\partial\theta})+[l(l+1)\sin^2\theta-m^2]O=0;</math>
:<math>{\partial^2 F\over\partial\phi^2}=-Fm^2, \; F=e^{im\phi},</math>
kur ''m'' - [[Elektronų konfigūracija|magnetinis kvantinis skaicius]].
<math>O(\theta)</math> funkcija:
:<math>\sin\theta{d\over d\theta}(\sin\theta{d O\over d\theta})+[l(l+1)\sin^2\theta-m^2]O=0;</math>
:<math>O(\theta)=AP_l^m(\cos\theta)</math> - Legendarinė funkcija.
:<math>P_l^m(x)=(1-x^2)^{|m|/2}{d^{|m|} P_l(x)\over dx^{|m|}};\;P_l(x)={1\over 2^l l!}{d^l\over dx^l} (x^2-1)^l;</math>
:kadangi, <math>P_l(x)</math> yra polinomas laipsnio ''l'', <math>|m|\le l,</math> tai:
<math>P_0(x)={1\over 2^0\cdot 0!}{d^0\over dx^0} (x^2-1)^0={1\over 1\cdot 1}\cdot 1\cdot 1=1;\; P_1(x)={1\over 2^1\cdot 1!}{d^1\over dx^1} (x^2-1)^1={1\over 2}\cdot 2x=x;</math>
<math>P_2(x)={1\over 2^2 \cdot 2!}{d^2\over dx^2} (x^2-1)^2={1\over 8}{d^2\over dx^2}(x^4-2x^2+1)={1\over 8}{d\over dx}(4x^3-4x)={1\over 8}(12x^2-4)={3x^2-1\over 2};</math>
<math>P_2^1(x)=(1-x^2)^{|1|/2}{d^{|1|} ({3x^2-1\over 2})\over dx^{|1|}}=3x\sqrt{1-x^2}=3\cos\theta\sin\theta;</math>
<math>P_2^2(x)=(1-x^2)^{|2|/2}{d^{|2|} ({3x^2-1\over 2})\over dx^{|2|}}=(1-x^2){d\over dx}(3x)=3(1-x^2)=3\sin^2\theta,</math>
:pavyzdžiai Legendarinių funkcijų:
<math>P_0^0=1;\;P_1^1=\sin\theta;\;P_0^1=\cos\theta;\;P_2^2=3\sin^2\theta;\; P_2^1=3\sin\theta\cos\theta;\;P_2^0={1\over 2}(3\cos^2\theta-1);</math>
<math>P_3^3=15\sin^3 \theta;\;P_3^2=15\sin^2\theta \cos\theta;\;P_3^1={3\over 2}\sin\theta(5\cos^2\theta-1);\;P_3^0={1\over 2}(5\cos^3\theta-3\cos\theta).</math>
Tai pavyzdžiai sukamų funkcijų apie ''z'' ašį (brėžinis (x, y) plokštumoje), kurios, žinoma yra dvimatės. Kad jos butų apibūdinamos trimatėjėje erdvėje, reikia, kad būtų panaudotas taip pat kampas <math>\phi</math>:
<math>Y_l^m(\theta,\phi)=\epsilon\sqrt{{2l+1(l-|m|)!\over 4\pi(l+|m|)!}}e^{im\phi}P_l^m(\cos\theta);\;\epsilon=(-1)^m, m\ge 0;\; \epsilon=1, m<0.</math>
==Nuorodos==
*http://www2.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld2_E/2Part1_E/2P13_E/Schroedinger_eq_E.htm
*http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/HydrogenAtom.htm
*http://spiff.rit.edu/classes/phys315/lectures/lect_5/lect_5.html
*http://www.physik.fu-berlin.de/~pascual/Vorlesung/SS06/Slides/AMOL-L1d.pdf
*http://submit.library.lt/ETD-afiles/VPU/etd-LABT20050616-161557-72803/unrestricted/Atomo_orbitaliu_grafinis_vaizdavimas.pdf
*http://faraday.uwyo.edu/~yurid/QM/Lecture%2011.pdf
== Susiję straipsniai ==
* [[Vandeniliškasis atomas]]
[[ CategoryKategorija:Kvantinė mechanika]] ▼
▲[[Category:Kvantinė mechanika]]
[[ar:معادلة شرودنغر]]
| 