Paviršinis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Eilutė 45:
Todėl
<math>\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.</math>
*Apskaičiuosime integralą <math>\iint_S(z-R)^2 dxdy</math> pagal viršutinę pusę pusiasferės <math>x^2+y^2+z^2=2Rz,</math> <math>R\le z\le 2R.</math>
:Duotajį paviršių ''S'' galima aprašyti lygtimi
:<math>x^2+y^2+z^2=2Rz,</math>
:<math>x^2+y^2+(z-R)^2=R^2,</math>
:<math>(z-R)^2=R^2-x^2-y^2,</math>
:<math>z-R=\sqrt{R^2-x^2-y^2},</math>
:<math>z=R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}.</math>
Todėl pagal formulę <math>\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_D R(x,y, f(x,y))dxdy</math> turime:
<math>\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R+\sqrt{R^2-x^2-y^2}-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy,</math>
kur ''D'' - [[skritulys]] <math>x^2+y^2\le R</math> plokštumos ''xOy'', į kurį projektuojasi paviršius ''S''. Skaičiuodami [[dvilypis integralas|dvilipį integralą]], gausime:
<math>\iint_S(z-R)^2 dxdy=\iint_D(R^2-x^2-y^2) dxdy=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^R(R^2-\rho^2)\rho d\rho=\int_0^{2\pi}(R^2\rho^2\over 2}-{\rho^4\over 4})|_0^R d\phi={R^4\over 4}\phi|_0^{2\pi}={\pi R^4\over 2}.</math>
| |||