Gryno formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Eilutė 25:
Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:
<math>D=\oint_L -y dx=\oint_L xdy={1\over 2}\oint_L xdy-ydx.</math>
Jos išvedamos šitaip:
:<math>\iint_D({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy=\oint_L P dx+Qdy.</math>
*Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities ''D'' ( ploksčios figūros ploto). Jei <math>P(x, y)=-y,</math> <math>Q(x,y)=0.</math> Tada <math>{\partial P\over \partial y}=-1,\; {\partial Q\over\partial x}=0.</math> Pagal formulę turime:
<math>\iint_D(0+1)dxdy=\oint_L -ydx+0dy.</math>
Integralas <math>\iint_D dxdy</math> lygus paaviršiui srities ''D'' , todėl,
<math>D=\iint_D dxdy=-\oint_L ydx.</math>
*Sakykime <math>P(x,y)=0,</math> <math>Q(x,y)=x,</math> analoginiu budu randame, kad
<math>D=\oint_L xdy.
</math>
*Ir, pagaliau, paėmę funkcijas P(x,y)=-{1\over 2}y,\; Q{x,y)={1\over 2}x, gauname formulę
<math>D=\iint_D({1\over 2}+{1\over 2})dxdy=\iint_D dxdy={1\over 2}\oint_L xdy- ydx.</math>
'''Pavyzdžiai'''
*Apskaičiuosime plotą apribotą elipse <math>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1,</math> pagal formulę <math>D=\oint_L x dy.</math> Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: <math>x=a\cos t,</math> <math>y=b\sin t,</math> <math>0\le t\le 2\pi,</math> <math>dy=b\cos t,</math> gauname:
| |||