Simpsono taisyklė

Simpsono taisyklė – integralo apytikslio skaičiavimo metodas, apytikriai keičiant integruojamą funkciją parabolės lanku. Algoritmas randa apytikslę skaitinę integralo

Funkcija f(x) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x) (raudona).

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

reikšmę.

Vieno žingsnio algoritmas

Integruojama funkcija $f(x)$ keičiama interpoliaciniu polinomu – kvadratine funkcija $P(x)$, kuri parenkama taip, kad integruojamos funkcijos ir interpoliacinio polinomo reikšmės sutaptų integruojamo intervalo kraštuose bei jo viduryje (m=(a+b)/2). Tokios parabolės lygtis yra

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

ir tuomet ieškoma integralo reikšmė lygi

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

Integravimo paklaida lygi

$-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),$.

kur $h=(b-a)/2$ ir $\xi$ yra bet kokia reikšmė tarp $a$ ir $b.$

Sudėtinė Simpsono taisyklė

Jei vieno žingsnio algoritmo tikslumo nepakanka, apibrėžtinio integralo intervalas suskaidomas į pasirinktą skaičių lygaus ilgio dalių, kurių kiekvienam ši taisyklė pritaikoma atskirai. Gautos reikšmės sudedamos:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},$

kur $n$ yra dalių, į kurias suskirstomas integruojamas intervalas, skaičius (turi būti lyginis), o $x_{i}=a+ih$ for $i=0,1,...,n-1,n$ (taip pat $x_{0}=a$ ir $x_{n}=b.$).

arba (tas pats)

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.$

Didžiausia galima integravimo paklaida tuomet lygi

$-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),$

kur $h$ yra integravimo žingsnio ilgis ($h=(b-a)/n.$)

Nuorodos

• http://mathworld.wolfram.com/SimpsonsRule.html