Rymano integralas

 NoFonti.svg  Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius
(pažymėtas nuo 2020 m. lapkričio).

Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.


 Broom icon.svg  Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus – neenciklopedinis stilius
Jei galite, sutvarkykite.

Rymano integralas (angl. Riemann integral) – vienas iš apibrėžtinio integralo apibrėžimų, pasiūlytas vokiečių matematiko Georgo Rymano. Kaip ir kiti apibrėžtinio integralo variantai, Rymano integralas naudojamas skaičiuoti plotui, tūriui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Įvairiai sudarytų Rymano sumų geometrinė prasmė

ApibrėžimasKeisti

Integralinė sumaKeisti

 
Funkcijos f(x) integralinės sumos geometrinė interpretacija.

Pirmiausia sudaroma funkcija, vadinama Rymano integralinė suma. Ji apibrėžiama labai panašiai kaip ir Darbu sumos.

Tegul funkcija   apibrėžta intervale  . Intervalas suskaidomas tokiu būdu:

 

Gautų intervalų ilgiai žymimi  . Jų iš viso yra  . Ilgiausio gabaliuko ilgį pažymėkime  , t. y.   . Toks intervalo skaidinys vadinamas  .

Kiekviename skaidinio gabaliuke bet kur parenkami taškai:

 .

Toks taškų parinkimą simboliškai žymimas  . Sudaroma suma:

 .

Geometriškai, ši suma reiškia stačiakampių, besikertančių (besiliečiančių) su kreivine trapecija, plotų sumą. Šių stačiakampių kraštinės yra   ir  . Priešingai, nei Darbu sumos, ši suma priklauso ne tik nuo to, kaip skaidomas intervalas, bet ir nuo taškų parinkimo, t. y.   yra   ir   funkcija.

Integralinė suma pasižymi tokiomis savybėmis:

  •   ir   galioja nelygybė:
 .

Čia   ir   yra Darbu sumos.

  • Galioja sąryšiai:
 
 

t. y. minimali integralinės sumos vertė keičiant taškų parinkimą yra apatinė Darbu suma, maksimali vertė – viršutinė Darbu suma.

Geometriškai šios savybės akivaizdžios, nes pagal apibrėžimą,   ir   yra atitinkamai mažiausia ir didžiausia įmanoma integralinės sumos vertės.

Integralo apibrėžimasKeisti

Sudaroma funkcijos   integralinė suma. Jeigu riba, kai intervalo gabaliukų didžiausias ilgis   artėja į nulį, turi baigtinę vertę ir nepriklauso nei nuo taškų parinkimo, nei nuo intervalo skaidymo būdo, sakoma, kad funkcija   yra integruojama intervale   Rymano prasme ir žymima:

 

Dydžiai   ir   vadinami integravimo rėžiai.

Geometriškai Rymano integralas reiškia plotą, po kreivine trapecija, kuri apribota tiesėmis  , x ašimi ir funkcija   (apie kitus taikymus žr. taikymų skyrelyje).

Būtina integruojamumo sąlygaKeisti

Iš integralinės sumos apibrėžimo aišku, kad, jeigu   intervale   yra neaprėžta, tai kažkuriame skaidinio gabaliuke galime imti tašką  , su kuriuo dydis   bus kiek norima didelis. Taigi ir integralinės sumos riba bus neapibrėžta, t. y. augs į begalybę. Geometriškai tai reiškia, kad funkcija, kuri bent viename intervalo taške artėja į begalybę, neriboja baigtinio ploto – plotas po ja yra begalinis.

Būtina ir pakankama integruojamumo sąlygaKeisti

Jeigu funkcija intervale   yra aprėžta, t. y. tenkina būtiną integruojamumo sąlygą, tai dar nereiškia, kad ji yra integruojama Rymano prasme. Kaip pavyzdį galime pateikti funkciją  , kuri yra apibrėžta, bet nėra integruojama intervale [-1; 1].


Kad funkcija būtų integruojama, ji turi tenkinti tokią sąlygą:

 

Čia   ir   yra Darbu sumos. Jei tenkinama ši sąlyga, tai funkcija yra integruojama Rymano prasme ir atvirkščiai: jeigu funkcija yra integruojama Rymano prasme – teisinga ši sąlyga.

Ši sąlyga reiškia, kad intervalo skaidinio gabaliukams be galo mažėjant, apatinė ir viršutinė Darbu sumos tampa lygios kreivinės trapecijos plotui.

Tačiau dažniausiai literatūroje minima būtina ir pakankama funkcijos tam tikrame intervale integruojamumo sąlyga yra ta, kad funkcija turi būti tame intervale dalimis tolydi.

Rymano integralo savybėsKeisti

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

  •   Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.
  • Jei  , tai  . T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai   integralinėje sumoje yra neigiami.
  • Jei  , tai  . Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai   yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.
  • Jei   ir   yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga  . Atvirkščias teiginys yra neteisingas.
  •  

SkaičiavimasKeisti

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

 

Čia   yra viena iš   pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą  , t. y. plotą po parabolės šaka, apribota tiesėmis  :

Iš pradžių surandame:
 
Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:
 
 

Tada atimame F(a) iš F(b):

 

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra  ).

  •  

  kur             Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:  

  •   kur        
  • Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis    

 

  •   Keičiame     Kadangi  , kai   ir   kai   tai

 

 
Parabolės.
  • Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių   ir   plotą.
Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį   iš čia     Tuomet

 

 
Elipsė.
  • Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse   plotą.
Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis     Piramjame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo   iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį   vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę   vietoje y įrašykime   o vietoje   įrašykime   kadangi   Tuomet

   

  • Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido   ir plokštumos  , tūrį.
Jei paraboloidą kirstume plokštuma   tai jo pjūvyje gautume elipsę

  kurios kanoninė lygtis   Tos elipsės pusašės lygios   Kadangi   (iš ankstesnio pavyzdžio), tai   Tuomet  

 
Plotas apribotas parabolės ir tiesės.
  • Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų   ir  
Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės   su prabole   Išsprendę lygtį

        gauname     Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:    

  • Tą patį plotą apribota parabole   ir tiese   apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės       Surandame plotą po parabole kai  
 
Dabar surandame plotą po parabole nuo   iki  

 

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
 
Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę   iš trikampio ploto:
 
Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą   ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą   gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:
 

TaikymaiKeisti

Integralai labai plačiai naudojami praktikoje, ypač tiksliuosiuose moksluose, kaip fizika. Visų apibrėžtinių integralų prasmė yra kažkokia masė, pvz.: plotas, tūris, mechaninis darbas ir t. t.

Bendra integralo taikymo schemaKeisti

Tarkime, kad turime kažkokį pastovų dydį  , kuris susietas su kažkokiu intervalu   taip, kad skaidant intervalą, skaidosi dydis  :  . Pvz., jei   laikysime plotu po kreivine trapecija, tai šią savybę aiškiname taip: du nesikertančius plotus galime sudėti ir gausime bendrą plotą. T. y. dydis   yra adityvus. Taip pat tarkime, kad paėmę gana mažą intervalo gabaliuką   galime užrašyti apytikslę lygybę:

 

Pavyzdyje su plotu,  , t. y. jeigu paimsime ganėtinai mažą intervalą, tai plotą po kreive jame galime užrašyti kaip stačiakampio plotą. Dydžio nuokrypis neturėtų būti didesnis, nei pirmos eilės nykstamas dydis, t. y.:

 

Pavyzdyje su plotu taip ir yra – nedarome klaidos didesnės už  .

Kadangi dydis   yra adityvus, visą jo vertę gausime sumuodami:

 
 
 

Perėje prie ribos, kai didžiausias skaidymo gabaliuko ilgis   nyksta, gauname:

 

Kairėje pusėje ribos galime ir nerašyti, nes   yra pastovus dydis.

Dydis   pagal apibrėžimą yra Rymano integralas.

Taigi gavome universalią formulę adityviems dydžiams skaičiuoti:

 

Toliau pateikiama keletas tokių adityvių dydžių pavyzdžių.

PlotaiKeisti

Plotas po kreivine trapecija yra adityvus dydis, o mažas jo gabaliukas apytikriai užrašomas formule:

 ,

taigi:

 

TūriaiKeisti

 
Integralo naudojimas tūriui skaičiuoti.

Tarkime turime kažkokį kūną erdvėje. Pjaustome jį plokštumomis statmenomis   ašiai. Gauto pjūvio plotą galime užrašyti kaip koordinatės   funkciją  . Tada, pjaustant kūną gana plonais sluoksniais, galime apytikriai užrašyti tokio sluoksnio tūrį:

 

Taigi visas tūris:

 

Kūną nebūtina pjaustyti statmenai   ašiai – tinka bet kuri. S(x) ne visada būna konkreti analiziniu būdu užrašoma funkcija (pavyzdžiui,  ). Kartais tai būna nereguliari kreivė (kaip parodytas kaulas paveiksliuke - tokio kitimo analiziškai neįmanoma suintegruoti, tačiau visada galima suintegruoti skaitmeniškai).

Mechaninis darbasKeisti

Jei kūnas juda išilgai   ašies veikiant jėgai  , tai jėgos atliktą darbą gana mažame intervale galime užrašyti lygybe:

 

Tada visas darbas:

 

Kai jėga yra pastovi, gauname klasikinę formulę  . Jeigu kūnas juda ne tiese, o kažkokia žinoma kreive, reikia naudoti kreivinį integralą.

Kiti taikymaiKeisti

Integralas taikomas labai plačiai, juo dar galima suskaičiuoti: masę, inercijos momentus, statinius momentus, kūnų paviršiaus plotus ir t. t. Taikant integralą, svarbiausia nepadaryti klaidos, didesnės nei pirmos eilės nykstamas dydis.

Taip pat skaitykiteKeisti