Atverti pagrindinį meniu

Pilnųjų diferencialų integravimas

 Edit-copy purple-Wikibooks.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Jeigu funkcijos ir jų dalinės išvestinės yra tolydžios vienjungėje srityje E, be to, tuomet reiškinys P(x, y)dx+Q(x, y)dy yra tam tikros funkcijos u(x, y) pilnasis diferencialas du, o pati pirmykštė funkcija u(x, y) išreiškiama formule

  • Raskime reiškinio pirmykštę funkciją.
Pažymekime Uždavinį galime išspręsti tada, kai duotasis reiškinys bus pilnasis diferencialas. Taip yra iš tikrųjų, nes dalinės išvestinės yra lygios. Tuomet

čia konstanta C pažymėtas suskliaustas reiškinys, nes jis priklauso tik nuo taško koordinačių, vadinasi yra pastovus.

  • Išspręskime lygtį

Kadangi kairėje esantis reiškinys yra funkcijos u(x, y) pilnasis diferencialas be to, lygus nuliui, todėl ta funkcija lygi konstantai. Taigi duotosios diferencialinės lygties sprendinys yra reiškinys Kadangi yra reiškinio, parašyto kairiojoje lygties pusėje, pirmykštė funkcija, tai ją rasime taikydami kurią nors iš dviejų formulių, pavyzdžiui, antrąją. Gauname: čia Integruojame: arba nes pastovųjį dydį galima prijungti prie C. Taigi duotosios lygties bendrasisi integralas nusakomas formule

Jeigu integralo reikšmė nuo integravimo kelio nepriklauso tai galima sukūrti pilnąjį diferencialą. Jei tai integruodami gauname Pavyzdžiui, Integruojant gauname Dešinės pusės sutampa jeigu Tokiu budu

  • Apskaičiuosime integralą
Kelias yra nuo taško A(-1; 2) iki taško B(2; 3). Duotuoju ateveju funkcijos netrūkios ir dalinės išvestinės lygios tarpusavyje. Todėl skaičiuosime šitaip:
  • Raskime reiškinio pirmykštę funkciją F.
Kadangi Tai

Matome, kad ir skiriasi tik Vadinasi pirmyktė funkcija yra:

  • Išspręskime lygtį
Kadangi tai galime ieškoti pirmykštę funkciją kairės lygties pusės. Žinome, kad

Prie pirmo reiškinio pridėję tai ko neturi pirmas reiškinys , gauname pirmykštę funkciją ir tuo pačiu išsprendžiame lygtį:

  • Norėdami ja išintegruoti nuo taško A(-1; 2) iki taško B(2; 3), galime daryti taip:

Taip pat skaitykiteKeisti