Natūrinis logaritmas

Natūrinis logaritmas – logaritmas, kurio pagrindas yra iracionalusis skaičius e, kurio apytikslė reikšmė yra $2,718281828459$. Žymima log_e(x) arba tiesiog ln(a).

ln(x)

Skaičiaus x natūrinis logaritmas yra laipsnio rodiklis (eksponentė) y: e^y = x.

$\ln x=y\iff e^{y}=x$

Pavyzdžiui:

• Skaičiaus e⁵ natūrinis logaritmas yra 5,
• Skaičiaus e natūrinis logaritmas yra 1, nes e¹ = e,
• Skaičiaus 1 natūrinis logaritmas yra 0, nes e⁰ = 1.

Natūrinis logaritmas yra eksponentinės funkcijos atvirkštinė funkcija.

Natūrinis logaritmas apibrėžiamas visiems teigiamiems realiesiems skaičiams x ir taip pat gali būti apibrėžiamas nenuliniams kompleksiniams skaičiams. Kartais ši funkcija vadinama Neperio logaritmu, nes pirmasis ją panaudojo Džonas Neperis.

Apibrėžimai

Formaliai ln(a) gali būti apibrėžta kaip 1/x funkcijos grafiko ribojamas plotas (integralas) intervale nuo 1 iki a:

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Savybės

• $\ln(1)=0$
• $\ln(e)=1$
• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad {\text{kai}}\quad x>0,y>0$
• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {kai}}\quad y>x>0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\quad {\text{kai}}\quad x>0$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {kai}}\quad x>0$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {kai}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1$
• ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$