Mišrioji sandauga
Mišrioji vektorių sandauga – trinarė vektorių operacija, kurios rezultatas yra dviejų vektorių a ir b vektorinės sandaugos ir trečiojo vektoriaus c skaliarinė sandauga.[1]
Apibrėžimas
redaguotiMišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (a × b)·c. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.
Mišriosios sandaugos skaičiavimas
redaguotiTegu vektorių a, b ir c koordinatės yra (ax, ay, az), (bx, by, bz) ir (cx, cy, cz). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y
Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrį.
Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0) ir c = (1; 1; 1), tūrį.
Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:
Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.
Savybės
redaguotiMišrioji sandauga tenkina šias savybes:
- ;
- Jeigu vektoriai a, b ir c yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga
- Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga
- Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga
Taikymai
redaguotiNaudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrio V3p skaičiavimo formulė yra:
Tarkime, turime keturkampę piramidę EABDC, kurios pagrindą ABCD sudaro vektoriai AB = a ir AD = b, o šoninė kraštinė AE = c. Šios piramidės tūrio V4p skaičiavimo formulė yra:
Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė h, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai a ir b, gali būti apskaičiuota pagal formulę:
Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.
Šaltiniai
redaguoti- ↑ mišrioji sandauga. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-03).
Veiksmai su vektoriais | |
Sudėtis ir atimtis | Vektorinė sandauga | Skaliarinė sandauga | Mišrioji sandauga | |