Matematikoje skaičiaus logaritmas (gr. logos – santykis + gr. arithmos – skaičius) – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti kitą fiksuotą skaičių (pagrindą), kad būtų gautas tas skaičius.[1] Logaritmas yra atvirkštinė pagrindo kėlimo laipsniu funkcija. Veiksmas, kuriuo randamas skaičiaus logaritmas vadinamas logaritmavimu, o priešingas veiksmas vadinamas potencijavimu arba antilogaritmavimu.[2]

Graph showing a logarithm curves, which crosses the x-axis where x is 1 and extend towards minus infinity along the y-axis.
Logaritminės funkcijos pagrindu 2 grafikas kerta ordinačių ašį ties vienetu ir praeina per taškus (2,1), (4,2) ir (8,3).
Džonas Neperis (1550–1617), logaritmų išradėjas.

Pavyzdžiui, 1000 logaritmas pagrindu 10 yra 3, nes 10 pakėlus 3 laipsniu gaunamas 1000: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Bendru atveju, bet kuriems dviem realiems skaičiams b ir x, kur b yra teigiamas ir b ≠ 1,

Logaritmas, kurio pagrindas skaičius 10, yra vadinamas dešimtainiu logaritmu ir yra taikomas inžinerijoje. Logaritmas pagrindu e (≈ 2,718) yra vadinamas natūriniu logaritmu ir yra plačiai naudojamas grynojoje matematikoje, ypač integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime. Dvejetainis logaritmas naudoja pagrindą 2 (b = 2), naudojamas kompiuterių moksle.

Logaritmus atrado ir tyrė jų savybes škotų matematikas Džonas Neperis 1614 m.,[3] jis taip pat sukūrė „Nepero lazdeles“, kurios palengvino logaritmų skaičiavimą.[4] Šiuolaikinį logaritmų žymėjimą įvedė XVIII a. Leonardas Euleris.

Praktiniams logaritmų skaičiavimams ilgą laiką buvo plačiai naudojama logaritminė liniuotė, kurią ilgainiui pakeitė šiuolaikiniai skaičiuotuvai.[5]

Veiksmai su logaritmais

redaguoti

Logaritmų sudėties pakeitimas sandauga

  yra lygus  

Pavyzdžiui:  

Įrodymas:  ,o  , taigi 2+3=5.;

Logaritmų atimties pakeitimas dalyba

Logaritmų atimtis yra priešingas veiksmas sudėčiai, todėl pologaritminius reiškinius (pažymėta raide 'X') reikės dalinti.

Pavyzdžiui:  . Šis reiškinys bus lygus  , taigi jis lygus  .

Įrodymas: 3-2=1.

Pastaba: logaritmo pagrindas (pažymėta raide b) turi būti didesnis už nulį ir nelygus 1, o pologaritminis reiškinys (X) didesnis už 0.

Logaritmų savybės

redaguoti

 
 
 
 
 
 
 
 
 
  – pagrindų keitimo formulė.
 
 
 

Pavyzdžiu patvirtinsime šitą formulę:
 
 
 
čia a=2, x=256, c=4.

Šaltiniai

redaguoti
  1. Logaritmas. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-27).
  2. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 115 p. ISBN 5-430-03932-2
  3. GRIGAS, Jonas. Kiek trunka sekundė. Vilnius: Tyto alba, 2011, 124 p. ISBN 978-9986-16-868-3.
  4. BALTRŪNAS, Aleksandras. Nuo nulio iki…. Vilnius: Vyturys, 1991, 142 p. ISBN 5-7900-0178-5.
  5. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 40 p. ISBN 5-430-03784-2