Matematikoje kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\!}
Čia a, b, c – realieji skaičiai,
a
≠
0
.
{\displaystyle a\neq 0\,\!.}
Turinys
Bendra forma:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
a
≠
0
,
{\displaystyle a\neq 0\,\!,}
b
≠
0
,
{\displaystyle b\neq 0\,\!,}
c
≠
0
.
{\displaystyle c\neq 0\,\!.}
Sprendimas:
randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}
Tada galimi trys atvejai:
Jei
D
>
0
{\displaystyle D>0\,\!}
x
1
,
2
=
−
b
±
D
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}}
Jei
D
=
0
{\displaystyle D=0\,\!}
x
=
−
b
2
a
.
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!}
Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis .
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
/
⋅
4
a
4
a
2
x
2
+
4
a
x
b
+
4
a
c
=
0
4
a
2
x
2
+
4
a
x
b
+
b
2
⏟
−
b
2
+
4
a
c
=
0
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
2
a
x
+
b
=
±
b
2
−
4
a
c
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}&a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,\,\,/\cdot \,4a\\&4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+4ac=0\\&\underbrace {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+{{b}^{2}}} _{}-{{b}^{2}}+4ac=0\\&{{\left(2ax+b\right)}^{2}}={{b}^{2}}-4ac\\&2ax+b=\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}\\&{{x}_{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}}
Jei
D
<
0
{\displaystyle D<0\,\!}
kompleksiniai skaičiai :
x
1
,
2
=
−
b
2
a
±
i
|
D
|
2
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}}
kur
i
{\displaystyle {\begin{aligned}i\end{aligned}}}
menamasis vienetas
Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą . Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos
{
x
1
+
x
2
=
−
b
a
x
1
⋅
x
2
=
c
a
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\end{cases}}}
Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.
Radus sprendinius, galioja lygybė:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}
Bendra forma:
a
x
2
=
b
{\displaystyle ax^{2}=b\,}
Sprendimas:
x
2
=
b
a
x
1
,
2
=
±
b
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}\end{aligned}}}
Bendra forma:
a
x
2
+
b
x
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx=0\,}
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
x
(
a
x
+
b
)
=
0
{\displaystyle x(ax+b)=0\,}
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
x
=
0
arba
a
x
=
−
b
x
=
−
b
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}}
