Kvadratinė šaknis iš 2

Kvadratinė šaknis iš 2, žymima , – teigiamas realusis skaičius, kurį padauginus iš savęs gaunamas 2.

Stačiojo trikampio, kurio kraštinės yra 1, įžambinė yra

Geometriškai kvadratinė šaknis iš 2 yra kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui (vienetinio kvadrato), įstrižainės ilgis, tai išplaukia iš Pitagoro teoremos. Kvadratinė šaknis iš 2 turbūt yra pirmasis žinomas iracionalusis skaičius.[1]

Pirmieji 65 kvadratinės šaknies iš 2 dešimtainiai skaitmenys yra:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

Trupmena yra gera aproksimacija iki pirmų keturių dešimtainių skaitmenų.

Iracionalumo įrodymas

redaguoti

Įrodyti, kad kvadratinė šaknis iš 2 yra iracionalusis skaičius galima prieštaros būdu. Norint tai padaryti yra daroma prielaida, kad √2 yra racionalusis skaičius ir parodoma, kad ši prielaida veda į prieštaravimą. Iš to išplaukia, kad √2 negali būti racionalusis skaičius, todėl jis yra iracionalusis.

  1. Jeigu √2 yra racionalusis skaičius, tai turi egzistuoti tokia trupmena su skaičiais m ir n, kad lygybė √2 = m/n būtų teisinga.
  2. Galima teigti, kad m/n yra nesuprastinama trupmena, t. y., m ir n neturi bendrojo daliklio.
  3. Lygtis √2 = m/n gali būti pertvarkyta į m2 = 2n2. Iš to seka, kad m2 yra lyginis skaičius.
  4. Atsižvelgiant į tai, kad lyginio skaičiaus kvadratas visada yra lyginis skaičius, o nelyginio - nelyginis, iš (3) žingsnio galima daryti išvadą, kad m taip pat turi būti lyginis skaičius. Vadinasi m galima užrašyti kaip m = 2k, kur k - natūralusis skaičius.
  5. Sujungus lygtis iš (3) ir (4) gaunama: 2n2 = m2 = (2k)2 = 4k2. Kitaip tariant, n2 = 2k2, kas leidžia teigti, kad skaičius n dalijasi iš 2.
  6. Jeigu m ir n abu dalijasi iš dviejų, tai 2 yra bendrasis daliklis, o tai prieštarauja prielaidai (2), kad m ir n neturi bendro daliklio. √2 - iracionalusis skaičius.

Šaltiniai

redaguoti
  1. Fowler, David H. (2001), "The story of the discovery of incommensurability, revisited", Neusis (10): 45–61