Kreivumas

Kreivumas arba kreivis – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Plokštumos kreivės kreivumasKeisti

 
Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x0, y0) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

 

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

 

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

 

Paviršių kreivumasKeisti

 
Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad   yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu   – taškas paviršiuje  ,   –   liečiančioji plokštuma taške  ,   – vienetinis normalinis vektorius (normalė)   taške  , o   – plokštuma einanti per   ir vektorių  , esantį  . Kreivė  , gaunama kertantis plokštumai   su nagrinėjamu paviršiumi  , yra vadinama   pjūviu taške   vektoriaus   kryptimi. Skaliarinis dydis   yra normalinis paviršiaus   kreivumas   kryptimi

 

Čia   reiškia skaliarinę sandaugą,   – kreivumo vektorius   taške  .

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys   ir  , kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

 ,

kur   – kampas tarp krypties ir  , o   ir   yra normaliniai kreivumai   ir   kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

 , (kartais  )

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

 

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.