Kreivumas

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Kreivumas arba kreivis – bendras pavadinimas kiekybinių charakteristikų, nusakančių geometrinių objektų (kreivių, paviršių ir pan.) santykinį skirtumą nuo „plokščių“ ar „tiesių“ jų atitikmenų (tiesės, plokštumos ir pan.). Dažniausiai kreivumas apibrėžiamas kiekvienam objekto taškui.

Plokštumos kreivės kreivumas

Kreivė C ir jos kreivio apskritimas taške P

Plokštumos kreivės kreivumas taške P(x₀, y₀) yra dydis, atvirkščias kreivio apskritimo spinduliui tame taške. Jei kreivė Dekarto koordinačių sistemoje nusakyta lygtimi y = f(x), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}.$

Tokiu atveju neretai naudojama aproksimacija:

$\kappa (x,y)\approx {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Jei kreivė nusakoma parametrinėmis lygtimis x = p(t), y = r(t), tai kreivumas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\kappa (x,y)={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.$

Paviršių kreivumas

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centre) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Tarkime, kad $\Phi$ yra glodus paviršius trimatėje euklidinėje erdvėje. Tegu $p$ – taškas paviršiuje $\Phi$, $T_{p}$ – $\Phi$ liečiančioji plokštuma taške $p$, $n$ – vienetinis normalinis vektorius (normalė) $\Phi$ taške $p$, o $\pi _{e}$ – plokštuma einanti per $n$ ir vektorių $e$, esantį $T_{p}$. Kreivė $\gamma _{e}$, gaunama kertantis plokštumai $\pi _{e}$ su nagrinėjamu paviršiumi $\Phi$, yra vadinama $\Phi$ pjūviu taške $p$ vektoriaus $e$ kryptimi. Skaliarinis dydis $\kappa _{e}$ yra normalinis paviršiaus $\Phi$ kreivumas $e$ kryptimi

$\kappa _{e}=k\cdot n$

Čia $\cdot$ reiškia skaliarinę sandaugą, $k$ – kreivumo vektorius $\gamma _{e}$ taške $p$.

Bendru atveju, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys $e_{1}$ ir $e_{2}$, kuriomis kreivumas yra didžiausias ir mažiausias. Šios kryptys vadinamos pagrindinėmis arba normalinėmis. Kreivumą bet kokia kryptimi galima aprašyti Oilerio formule:

$\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha$,

kur $\alpha$ – kampas tarp krypties ir $e_{1}$, o $\kappa _{1}$ ir $\kappa _{2}$ yra normaliniai kreivumai $e_{1}$ ir $e_{2}$ kryptimis.

Galimi ir kitokie kreivumo apibrėžimai:

$H=\kappa _{1}+\kappa _{2}$, (kartais ${\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$)

yra vadinamas vidutiniu paviršiaus kreivumu. O dydis

$K=\kappa _{1}\kappa _{2}$

yra vadinamas paviršiaus Gauso kreivumas.