Komutatyvumas

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Komutatyvumas – matematinės dvinarės operacijos savybė aibės atžvilgiu. Dvinarė operacija * yra komutatyvi aibės S atžvilgiu, jei galioja lygybė x * y = y * x kiekvienam x ir y iš aibės S.

Jei egzistuoja bent viena pora x ir y, kurioms lygybė negalioja, operacija aibėje S yra nekomutatyvi.

Akivaizdžiausi komutatyvumo pavyzdžiai – sudėtis ir daugyba realiųjų skaičių aibėje, pavyzdžiui:

• 4 + 5 = 5 + 4 (abiejose lygybės pusėse gauname 9)
• 2 × 3 = 3 × 2 (abiejose lygybės pusėse – 6)

Kiti komutatyvių operacijų pavyzdžiai – sudėtis bei dalyba kompleksinių skaičių aibėje, aibių sankirta ar sąjunga.

Žiedas vadinamas komutatyviu, jei jame daugyba yra komutatyvi (sudėtis žiede yra visada komutatyvi).

Nekomutatyvios operacijos

Kasdieniniame gyvenime:

• Drabužių skalbimas ir džiovinimas yra nekomutatyvios operacijos: jei mes pirma išdžiovinsime, o po to išskalbsime, turėsime visai kitą rezultatą, nei kad pirma išskalbę, o po to išdžiovinę.

Vaikiškas pavyzdys:

• 2:4 nera lygu 4:2. Taigi, 2 vaikams pasidalinti 4 obuolius yra ne tas pats, kas 4 vaikams pasidalinti 2 obuolius.

Matematikoje:

• Atimtis $\scriptstyle a-b$
• Dalyba $\scriptstyle a/b$
• Matricų daugyba

pavyzdžiui,

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• kvaternijonų daugyba

pavyzdžiui,

${\begin{matrix}ij&=&k&\neq &ji&=&-k\\jk&=&i&\neq &kj&=&-i\\ki&=&j&\neq &ik&=&-j\end{matrix}}$

Sąryšis su kitomis savybėmis

Asociatyvumas

Asociatyvumas glaudžiai susijęs su komutatyvumu. Asociatyvumo atveju rezultatas nesikeičia, atliekant operacijas bet kokiu eiliškumu, su sąlyga, jei operandų tvarka nekeičiama. Komutatyvumas, priešingai, teigia, kad rezultatas nesikeičia sukeitus vietomis operandus.

Daugelis komutatyvių operacijų yra ir asociatyvios. Tačiau komutatyvumas ne visada reiškia asociatyvumą. Funkcija:

$f(x,y)={\frac {x+y}{2}},$

yra komutatyvi (sukeitus x ir y vietomis, rezultatas nesikeičia), tačiau ji yra neasociatyvi (kadangi, $f(1,f(2,3))=1,75$, bet $f(f(1,2),3)=2,25$).

Simetrija

Paveikslėlis, vaizduojantis sudėties funkcijos simetriją

Kuomet užrašome komutatyvią dvinarę funkciją, ji paprastai būna simetrinė linijos y = x atžvilgiu. Paveikslėlyje dešinėje kaip pavyzdys parodyta funkcija f, realizuojanti sudėties operaciją f(x,y) = x + y.

Komutatyvumas neurofizikoje

Neurofizikoje komutatyvumo sąvoka taikoma ryšiams tarp neuronų.