Kompleksinis skaičius

Kompleksinis skaičius – dviejų realiųjų skaičių pora z:

Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas kaip skaičių a ir b pora, kuri sudaro vektorių kompleksinėje plokštumoje „Re“ – realioji ašis, „Im“ – menamoji ašis, o i yra menamasis vienetas.

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z = (a , b) =a + b \cdot i = \operatorname{Re}(z) + i\operatorname{Im}(z)} ,

kur a ir b – realieji skaičiai, o Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle i = (0,1)}  – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle i^2 = -1}

Dažnai klaidingai sakoma, jog Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle i = \sqrt{-1} } tačiau tai ne visai tikslu, nes yra dvi reikšmės, kurias pakėlę kvadratu gauname -1: i ir -i.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}=\{a + b \cdot i; a,b \in \mathbb{R} \}}

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a ,b)+(c ,d)=(a +bi)+(c +di)=(a+c) + (b+d) \cdot i = (a + c , b + d) \,}

Atimtis

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a ,b)-(c ,d)=(a +bi)-(c +di)=(a-c) + (b-d) \cdot i = (a-c,b-d) } ,

Daugyba

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a , b) \cdot (c , d) =(a +bi)(c +di)= (ac-bd) + (ad+bc) \cdot i = (ac - bd , ad + bc) \,}

• Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a \cdot (1,0) = (a,0) \cdot (1,0)= (a,0) = a}
• Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle b \cdot (0,1) = (b,0) \cdot (0,1) =(b+0) \cdot (0+i) =0+bi= (0,b) = bi}

Dalyba

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{(a ,b)}{(c ,d)}=\frac{a +bi}{c +di}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\cdot i = \left(\frac{ac + bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right), }

• Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{(a ,b)}{(a ,b)} = \frac{a +bi}{a +bi} = 1+0i = (1,0) = 1} .
• Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{(c ,d)} = \frac{(1 ,0)}{(c ,d)} = \frac{1+0i}{c +di} = \frac{c}{c^2+d^2} + \left(\frac{-d}{c^2+d^2}\right)i = \left(\frac{c}{c^2+d^2}, \frac{-d}{c^2+d^2}\right) } .

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) \,}

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad). \,}

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a, b) = a \cdot (1, 0) + b \cdot (0, 1) = a + bi \quad \text{ir} \quad i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1.}

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).}

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas dvimatėje koordinačių sistemoje kaip vektorius, jungiantis koordinačių sistemos pradžią su tašku, kurio x koordinatė yra realioji kompleksinio skaičiaus dalis, o y – menamoji.

Dviejų (ar daugiau) kompleksinių skaičių suma yra tokių juos kompleksinėje plokštumoje atitinkančių vektorių vektorinė suma.

Dviejų kompleksinių skaičių sandaugą atitinkančio vektoriaus (irgi prilyginamo kompleksiniam skaičiui) ilgis lygus dauginamųjų vektorių ilgių sandaugai, o kampas su X ašimi – dauginamųjų vektorių kampų sumai. Kompleksiniai skaičiai, kuriuos atitinka vienetinio ilgio (normalizuoti) vektoriai, dauginant tiesiog pasuka kitą dauginamąjį savuoju kampu su X ašimi.

Tiek i, tiek ir -i yra kompleksiniai skaičiai, kurių realioji dalis lygi nuliui, tačiau menamoji dalis yra priešingų ženklų. Tai du su Y ašimi sutampantys vienetinio ilgio vektoriai, nukreipti priešingomis kryptimis (i aukštyn, -i žemyn), jų vektorinė suma lygi nuliui, o sandaugos kampas 90° + 270° = 360° = 0°, kas atitinka su X ašimi sutampantį, dešinėn nukreiptą vektorių (realųjį skaičių 1). Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle i \cdot i} sandaugos kampas 90° + 90° = 180°, kas atitinka su X ašimi sutampantį kairėn nukreiptą vektorių, realųjį skaičių -1. Tačiau Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle -i \cdot -i} sandaugos kampas 270° + 270° = 540° = (apsukus ratą) 180°, kas irgi atitinka -1.

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos (Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z = (a , b) =a + b \cdot i} ) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z = r ( \cos \varphi\ + i \sin \varphi\ )=re^{i\varphi}} ,

Čia

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r = \sqrt{a^2 + b^2}} ,11

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \cos \varphi\ = \frac{a}{r},}

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \sin \varphi\ = \frac{b}{r},} .

Formulė kai Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r = 1} yra vadinama Oilerio formule: Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi} .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (a,b)} turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b – y ašimi. Kampas Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \phi} yra kampas tarp x ašies ir tiesės, jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z=z_1 z_2 =r_1\,e^{i\varphi_1} \cdot r_2\,e^{i\varphi_2} = r_1\,r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,}

dalyba:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z=\frac{z_1}{z_2} =\frac{r_1\,e^{i\varphi_1}}{r_2\,e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}. \,}

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z^n =\big(r\,e^{i\varphi}\big)^n = r^n\,e^{in\varphi}=r^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi}) \,}

Šaknies traukimo operacija:

Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \omega = \sqrt[n]{z} } , Nepavyko apdoroti (MathML jei įmanoma (eksperimentinis): Netinkamas atsakas ("Math extension cannot connect to Restbase.") iš serverio "http://localhost:6011/lt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \omega_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} + i \sin{ \frac{ \varphi\ + 2 \pi\ k}{n}} \right) }  – egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1), visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaltiniai

Vikižodynas