Teorema: Tegul [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y , priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:
[ x , x ] [ y , y ] ≥ | [ x , y ] | 2 {\displaystyle [x,x][y,y]\geq |[x,y]|^{2}}
be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.
Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} funkcijoms f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } ir g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } galioja nelygybė:
∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x ∫ a b ( g ( x ) ) 2 d x ≥ ( ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ) 2 {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(f(x)\right)^{2}dx\int \limits _{a}^{b}\left(g(x)\right)^{2}dx\geq \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\right)^{2}}
Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } , kad f ( x ) = c g ( x ) {\displaystyle f(x)=cg(x)} .
Teorema: Tarkime ( x n ) n ≥ 1 {\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}} ir ( y n ) n ≥ 1 {\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}} yra realiųjų skaičių sekos , tuomet galioja nelygybė:
( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) ≥ ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}}
Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai: x 1 y 1 = x 2 y 2 = . . . = x n y n . {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=...={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}
Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:
( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) − ( ∑ i = 1 n y i x i ) 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( x i y j − x j y i ) 2 ≥ 0 ⇒ {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}\geq 0\Rightarrow }
( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) ≥ ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ▴ {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\blacktriangle }
Kvadratinės lygties metodas
redaguoti
Tarkime ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} ir ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija f ( x ) = ∑ i = 1 n ( a i x − b i ) 2 {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}x-b_{i}\right)^{2}} yra teigiama su bet kokiu x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:
f ( x ) = ∑ i = 1 n ( a i x − b i ) 2 = x 2 ∑ i = 1 n a i 2 − 2 x ∑ i = 1 n a i b i + ∑ i = 1 n b i 2 ≥ 0 {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}x-b_{i}\right)^{2}=x^{2}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}-2x\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\geq 0} , bei D ≤ 0 ⇒ {\displaystyle D\leq 0\Rightarrow }
D = 4 ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 − 4 ( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) ≤ 0 ⇒ {\displaystyle D=4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-4\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\leq 0\Rightarrow }
( ∑ i = 1 n a i 2 ) ( ∑ i = 1 n b i 2 ) ≥ ( ∑ i = 1 n a i b i ) 2 ▴ {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\blacktriangle }
Pažymėkime A = ∑ i = 1 n a i 2 {\displaystyle A={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}} ir B = ∑ i = 1 n b i 2 {\displaystyle B={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}} , tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM ≥ {\displaystyle \geq } GM ) nelygybę turime:
∑ i = 1 n a i b i A B ≤ 1 2 ∑ i = 1 n ( a i 2 A 2 + b i 2 B 2 ) = 1 ⇒ ∑ i = 1 n a i b i ≤ A B {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}}{AB}}\leq {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {a_{i}^{2}}{A^{2}}}+{\frac {b_{i}^{2}}{B^{2}}}\right)=1\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq AB} , o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti. ▴ {\displaystyle \blacktriangle }
Jenseno nelygybės metodas
redaguoti
Akivaizdu, kad funkcija f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos f ″ ( x ) > 0 {\displaystyle f''(x)>0} ), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:
∑ i = 1 n w i x i 2 ≥ ( ∑ i = 1 n w i x i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{2}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)^{2}} ,čia w i {\displaystyle w_{i}} yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui: ∑ i = 1 n w i = 1 ; {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1;}
Dabar kiekvienam b i ≠ 0 {\displaystyle b_{i}\neq 0} ir i = 1 , 2 , 3 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,3,...,n} parenkame x i = a i b i {\displaystyle x_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}} bei w i = b i 2 ∑ i = 1 n b i 2 {\displaystyle w_{i}={\frac {b_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}}} , o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę. ▴ {\displaystyle \blacktriangle }
Andresko – Anesko įrodymas
redaguoti
Tarkime a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ir x , y ∈ R + {\displaystyle x,y\in \mathbb {R^{+}} } , tuomet akivaizdu, kad galioja: ( a y − b x ) 2 ≥ 0 ⇒ {\displaystyle \left(ay-bx\right)^{2}\geq 0\Rightarrow }
a 2 y 2 + b 2 x 2 − 2 a b x y ≥ 0 ⇒ {\displaystyle a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy\geq 0\Rightarrow }
a 2 y x + b 2 x y ≥ 2 a b ⇒ {\displaystyle {\frac {a^{2}y}{x}}+{\frac {b^{2}x}{y}}\geq 2ab\Rightarrow }
a 2 y x + b 2 x y + a 2 + b 2 ≥ ( a + b ) 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}y}{x}}+{\frac {b^{2}x}{y}}+a^{2}+b^{2}\geq \left(a+b\right)^{2}} , o pertvarkę gauname:
a 2 x + b 2 y ≥ ( a + b ) 2 x + y . {\displaystyle {\frac {a^{2}}{x}}+{\frac {b^{2}}{y}}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{x+y}}.} Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę b {\displaystyle b} į b + c {\displaystyle b+c} , kur c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } , bei y {\displaystyle y} į y + z {\displaystyle y+z} , kur z ∈ R + {\displaystyle z\in \mathbb {R^{+}} } ir pritaikę Tito lemą, gausime:
a 2 x + b 2 y + c 2 z ≥ ( a + b + c ) 2 x + y + z {\displaystyle {\frac {a^{2}}{x}}+{\frac {b^{2}}{y}}+{\frac {c^{2}}{z}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{x+y+z}}} , o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):
∑ i = 1 n a i 2 b i ≥ ( ∑ i = 1 n a i ) 2 ∑ i = 1 n b i . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}^{2}}{b_{i}}}\geq {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}b_{i}}}.} Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius a i = α i β i {\displaystyle a_{i}=\alpha _{i}\beta _{i}} ir b i = β i 2 {\displaystyle b_{i}=\beta _{i}^{2}} gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:
( ∑ i = 1 n α i 2 ) ( ∑ i = 1 n β i 2 ) ≥ ( ∑ i = 1 n α i β i ) 2 ▴ {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}^{2}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\right)^{2}\blacktriangle }