Koši-Švarco nelygybė

(Nukreipta iš puslapio Koši - Švarco nelygybė)

Koši-Švarco nelygybė (arba Koši-Buniakovskio-Švarco nelygybė, CBS nelygybė) – matematikoje viena iš pagrindinių optimizavimo priemonių tiesinėje algebroje, analizėje, tikimybių teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygybė turi labai daug apibendrinimų, tarp kurių pati svarbiausia – Holderio nelygybė. Koši–Švarco nelygybė gali būti išreikšta vektorinėje, algebrinėje ir integralinėse formose.

Pirmasis šią nelygybę skaičių sekoms suformulavo ir įrodė Augustinas Liuisas Koši (1821), o teoremą integralinėje formoje pirmasis įrodė Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralinės nelygybės įrodymas buvo pateiktas Hermano Amadėjaus Švarco (1888).

Algebrinio tipo nelygybė dar gali būti išreikšta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateikė save apibendrinantį įrodymą tokioje formoje.

Nelygybės formuluotės

redaguoti

Vektorinė forma

redaguoti

Teorema: Tegul   – tiesinės erdvės vektorių skaliarinė sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems šiai erdvei, galioja nelygybė:

 

be to, lygybė galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Integralinė forma

redaguoti

Teorema: Bet kokioms tolydžioms ir integruojamoms intervale   funkcijoms   ir   galioja nelygybė:

 

Lygybė galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks  , kad  .

Algebrinė forma

redaguoti

Teorema: Tarkime   ir   yra realiųjų skaičių sekos, tuomet galioja nelygybė:

 

Lygybės atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:
 

Algebrinės formos įrodymai

redaguoti

Lagranžo būdas

redaguoti

Nelygybė lengvai įrodoma pasinaudojus Lagranžo tapatybe:

 

 

Kvadratinės lygties metodas

redaguoti

Tarkime   ir   yra realiųjų skaičių sekos. Pastebėkime, kad kvadratinė funkcija   yra teigiama su bet kokiu  , taigi jos diskriminantas D turi būti mažesnis arba lygus už nulį. Taigi:

 , bei  

 

 

AM – GM metodas

redaguoti

Pažymėkime   ir  , tuomet pagal aritmetinio – geometrinio vidurkio (AM   GM) nelygybę turime:

 , o pakėlus abi puses kvadratu gausime tai, ką ir reikėjo įrodyti.  

Jenseno nelygybės metodas

redaguoti

Akivaizdu, kad funkcija   yra įgaubta visoje skaičių tiesėje (t. y. jos  ), todėl galime taikyti pasvertąją Jenseno nelygybę:

  ,čia   yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o šių svorio vienetų suma yra apibrėžta ir lygi vienetui:  

Dabar kiekvienam   ir   parenkame   bei  , o tai įsistačius į Jenseno nelygybės išraišką gausime Koši – Švarco nelygybę.  

Andresko – Anesko įrodymas

redaguoti

Tarkime   ir  , tuomet akivaizdu, kad galioja:
 

 

 

 , o pertvarkę gauname:

  Ši nelygybė dar vadinama Tito lema. Dabar pakeitę   į   , kur   , bei   į   , kur   ir pritaikę Tito lemą, gausime:

 , o kartodami šias pakeitimo operacijas n kartų, gausime apibendrintą Tito lemą, dar vadinamą Koši – Švarco nelygybe Engel formoje (matematiko Artūro Engelio garbei):

  Belieka tik pastebėti, kad parinkę tokius   ir   gausime standartinę Koši – Švarco nelygybę:

 

Nuorodos

redaguoti