Keturkampis

Keturkampis – geometrinė figūra, sudaryta iš keturių taškų ir keturių nuosekliai juos jungiančių atkarpų. Bet kurie trys iš tų taškų negali būti išsidėstę vienoje tiesėje, o juos jungiančios atkarpos negali kirstis. Tuos keturis taškus vadiname keturkampio viršūnėmis, o juos jungiančias atkarpas – keturkampio kraštinėmis.

1 pav. Keturkampis

Keturkampis žymimas keturiomis didžiosiomis raidėmis, savo viršūnių pavadinimais (pavyzdžiui, 1 pav. pavaizduotas keturkampis ABCD).

Keturkampio viršūnės, priklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos gretimomis viršūnėmis, o viršūnės, nepriklausančios tai pačiai kraštinei, vadinamos priešingomis viršūnėmis. Keturkampio kraštinės, išeinančios iš tos pačios viršūnės, vadinamos gretimomis kraštinėmis, o kraštinės, neturinčios bendros viršūnės, vadinamos priešingomis kraštinėmis.

Keturkampis turi keturis vidinius kampus, kurių suma lygi 360°:

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$

Atkarpos, jungiančios priešingas keturkampio viršūnes, vadinamos keturkampio įstrižainėmis. Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines. (1 pav. pavaizduoto keturkampio įstrižainės yra AC ir BD.)

Keturkampio apribota plokštumos dalis vadinama keturkampio vidumi, o kita dalis – keturkampio išore.

Keturkampiai yra skirstomi į iškiliuosius ir neiškiliuosius. Keturkampiai, kurių abi įstrižainės yra keturkampių viduje, yra iškilieji. Neiškilieji keturkampiai šia savybe nepasižymi.

Geometrijoje dažniau nagrinėjami iškilieji keturkampiai. Pastarieji dar yra skirstomi į lygiagretinius, trapecijas.

Jei a, b, c ir d yra kraštinės betkokio keturkampio, o $d_{1}$ ir $d_{2}$ – keturkampio įstrižainės, tai

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4m^{2},$

čia m yra ilgis tiesės jungiančios keturkampio įžambinių vidurio taškus.

Plotas į apskritimą įbrėžto keturkampio su kraštinėmis a, b, c, d yra lygus (įbrėžti keturkampį galima, kai jo priešingų kampų suma lygi 180 laipsnių):

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$

čia $p={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Plotas bet kokio iškilojo keturkampio lygus:

$S={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}\sin \alpha ,$

čia $d_{1}$ ir $d_{2}$ yra keturkampio įstrižainės, o $\alpha$ yra smailus kampas tarp keturkampio įstrižainių.

Apibrėžimas

2 pav.

Tegul $A$, $B$, $C$ ir $D$ yra keturi taškai vienoje plokštumoje ir trys iš jų nėra vienoje tiesėje. Jeigu atkarpos ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ ir ${\overline {DA}}$ susikerta tik galiniuose taškuose, tai šių atkarpų susikirtimas yra keturkampis, kurį galima apibūdinti taip:

keturkampis $ABCD$ yra atkarpų ${\overline {AB}}\cup {\overline {BC}}\cup {\overline {CD}}\cup {\overline {DA}}$ sąjunga (žr. 2 pav.).

Keturkampio elementai

Keturkampio elementai yra:

• 4 viršūnės: kraštinių, sudarančių keturkampį, susikirtimo taškai.
• 4 kraštinės: atkarpos, jungiančios gretimas viršūnes.
• 2 įstrižainės: atkarpos, kurių galiniai taškai yra dvi negretimos viršūnės.
• 4 vidiniai kampai: kampai, kuriuos sudaro dvi gretimos kraštinės.
• centras, kuris yra į keturkampį įbrėžto apskritimo centras.

Keturkampio savybės

• Visų keturkampių vidinių kampų suma yra 360 laipsnių.
• Visi keturkampiai turi dvi įstrižaines.
• Keturkampis yra arba išgaubtas, arba įgaubtas.
• Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta viename taške, bet įgaubto keturkampio įstrižainės – ne.
• Bet kokį keturkampį galima nubrėžti tada, kai žinomi 5 jo elementai (kraštinės arba kampai).

Įbrėžtinis ir apibrėžtinis apskritimas

Į keturkampį $ABCD$ įbrėžtas apskritimas.

Į keturkampį galima įbrėžti apskritimą tik tada, kai keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios: $a+c=b+d$, kur kraštinė a yra priešais kraštinę c ir kraštinė b yra priešais kraštinę d.

Keturkampį galima apibrėžti apskritimu tada ir tik tada, kai priešingų vidinių kampų suma yra 180°: $\alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }$, kur kampas $\alpha$ yra priešais kampą $\gamma$, o kampas $\beta$ yra priešais kampą $\delta .$

Klasifikacija

Keturkampiai yra klasifikuojami pagal jų kraštinių lygiagretumą, ilgį ir vidinius kampus:

• trapecija – dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios.
• lygiašonė trapecija – du trapecijos pagrindai yra lygiagretūs, šoninės kraštinės yra vienodo ilgio ir trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs. Tai reiškia, kad įstrižainės yra vienodo ilgio.
• lygiagretainis – priešingosios kraštinės yra lygiagrečios. Iš to seka, kad priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji kampai yra lygūs ir įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas jas dalija pusiau.
• deltoidas – dvi gretimos kraštinės yra vienodo ilgio, kaip ir dvi kitos. Tai reiškia, kad ta priešingų kampų aibė yra lygi, o ta įstrižainė dalija kitą stačiu kampu.
• romboidas – lygiagretainis, kurio gretimos kraštinės yra nevienodo ilgio, o du kampai yra didesni už kitus du.
• stačiakampis – visi keturi kampai yra statieji. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis.
• kvadratas – taisyklingasis keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi vidiniai kampai yra statūs. Tai reiškia, kad priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios, o įstrižainės susikerta stačiu kampu ir susikirtimo taškas dalija jas į vienodas dalis. Keturkampis yra kvadratas tada ir tik tada, kai jis yra ir rombas, ir stačiakampis.
• įbrėžtinis keturkampis: keturios viršūnės yra apibrėžtiniame apskritime.

Formulės

Bendrinio keturkampio matematinės formulės
Plotas	$S={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot e^{2}\cdot f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$
	$S={\frac {a\cdot d\cdot \sin(\alpha )+b\cdot c\cdot \sin(\gamma )}{2}}={\frac {a\cdot b\cdot \sin(\beta )+c\cdot d\cdot \sin(\delta )}{2}}$
	$S={\frac {1}{4}}\cdot \left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\cdot \tan(\theta )$
	$S={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}$
	$S={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {|{\vec {e}}|^{2}\cdot |{\vec {f}}|^{2}-({\vec {e}}\cdot {\vec {f}})^{2}}}$
	$S={\frac {1}{2}}\cdot \left|(x_{A}-x_{C})\cdot (y_{B}-y_{D})+(x_{D}-x_{B})\cdot (y_{A}-y_{C})\right|$
Įstrižainės ilgis (žr. kosinusų teorema)	$e={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\cdot c\cdot d\cdot \cos(\delta )}}$
	$f={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\cdot a\cdot d\cdot \cos(\alpha )}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\gamma )}}$
Vidinis kampas (žr. kosinusų teorema)	$\alpha =\arccos \left({\frac {a^{2}+d^{2}-f^{2}}{2\cdot a\cdot d}}\right)$
	$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-e^{2}}{2\cdot a\cdot b}}\right)$
	$\gamma =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-f^{2}}{2\cdot b\cdot c}}\right)$
	$\delta =\arccos \left({\frac {c^{2}+d^{2}-e^{2}}{2\cdot c\cdot d}}\right)$

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Quadrilateral, MathWorld. (angl.)