Integruojantis daugiklis

Integruojantis daugiklis – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.

Pirmos eilės diferencialinės lygtysKeisti

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

 

Integruojantis daugiklis  , turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus

 

Ši išraiška gaunama taip:

 

Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad  . Taigi,

 

Padauginus iš   gaunama:

 

Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal  taikymo taisykle gaunama:

 

Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:

 

Toliau abi pusės suintegruojamos pagal  ,   pervadinamas į  . Gaunama:

 

Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:

 

Jei   (homogeninė diferencialinė lygtis), randama

 

Čia   yra konstanta.

PavyzdysKeisti

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

 

Matoma, kad  

 
 
 

Padauginus abi lygties puses iš   gaunama

 
 
 
 

Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:

 

arba

 

o iš čia gaunama

 

Netiesinė antros eilės diferencialinė lygtisKeisti

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

 

Panaudojus   kaip integruojantį daugiklį, gaunama:

 

Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:

 

Taigi,

 

Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama

 

NuorodosKeisti