Grupė (algebra)

Grupės – paprasčiausia algebrinė struktūra, aibė, apibrėžiama vienintele binarine operacija (vidinės kompozicijos dėsniu), tenkinančia tam tikras aksiomas. Grupes ir jų savybes nagrinėja algebros mokslo šaka grupių teorija.

Grupės apibrėžimą tenkina dauguma nagrinėtų matematinių struktūrų. Pavyzdžiui, grupės sudėties atžvilgiu yra sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ir kompleksinių skaičių aibės, grupės daugybos atžvilgiu yra racionalieji skaičiai (be 0), realieji ir kompleksiniai skaičiai.

Grupės plačiai naudojamos matematikoje, kituose tiksliuosiuose moksluose, inžinerijoje. Pavyzdžiui, grupės naudojamos tiriant reliatyvumą, kvantinę mechaniką, dalelių fiziką, taip pat grupėmis išreikštos geometrinės transformacijos naudojamos chemijoje, kompiuterinėje grafikoje.

SavybėsKeisti

Elementų aibė   vadinama grupe jai apibrėžto aibės elementų kompozicijos dėsnio   atžvilgiu, jei tenkina šias savybes:

Uždarumas
Bet kokiems a, b   grupės elementams, kompozicijos   rezultatas a * b irgi priklauso tai grupei  .
Asociatyvumas
Dėsnis   yra asociatyvus, t. y.  , bet kokiems grupės   elementams  
Vienetinis elementas
Egzistuoja neutralus elementas   (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė  
Atvirkštinis elementas
Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t. y.   (g – bet kuris grupės elementas,   – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.

Abelio grupėKeisti

Jeigu kompozicijos dėsnis   yra komutatyvus, t. y. bet kokiems dviem grupės elementams   galioja sąryšis  , tokia algebrinė struktūra vadinama Abelio grupe.

PogrupiaiKeisti

Grupės pogrupiu vadinami tokie grupės G poaibiai H, kurie tenkina savybes:

  • bet kurių dviejų poaibio H elementų sandauga priklauso H;
  • kiekvienam poaibio H elementui atvirkštinis elementas priklauso H.

Kiekvienas šias savybes tenkinantis pogrupis taip pat yra grupė.

Pavyzdžiui, racionalių skaičių aibė yra grupė sudėties atžvilgiu, o sveikųjų skaičių aibė yra šios grupės pogrupis.