Erlangeno programa

Erlangeno programa – Felikso Kleino tyrimų programa, pristatyta 1872 metais Erlangeno universitete prieš užimant jam profesoriaus pareigas. Kleinas pasiūlė geometrijų klasifikavimo būdą remiantis projektyvine geometrija ir grupių teorija. Šios geometrijos vadinamos klasikinėmis Kleino geometrijomis. Iš esmės tai buvo antroji algebrizacijos revoliucija geometrijoje (pirmąją pradėjo Dekartas, įvedęs koordinačių metodus). Algebrinių metodų pritaikymas leido suprasti gilesnius geometrijos ir algebros sąryšius, suteikė naują impulsą topologijos vystymuisi.

Tuo metu jau atsirado daug naujų geometrijos sričių – euklidinė, sferinė, hiperbolinė, projektyvinė, afininė, Rymano, kompleksinė geometrijos. Buvo nebeaišku, koks jų tarpusavio sąryšis ir hierarchija.

Kleinas čia pateikė kelis esminius pasiūlymus. Pirmiausia, projektyvinė geometrija tapo pagrindu kitų geometrijų analizei. Taip euklidinė geometrija savo kertinėmis prielaidomis yra griežtesnė nei afininė geometrija, o afininė geometrija griežtesnė nei projektyvinė geometrija. Kleinas pasiūlė, kad simetrijos idėja geometrijoje galėtų būti aprašoma grupių teorija – tai buvo naudingas geometrijos žinių klasifikavimo proveržis. Kleinas taip pat suformulavo idėją, kad kiekviena geometrijos sritis turi savo sąvokas. Pavyzdžiui, projektyvinė geometrija kalba apie kūginius pjūvius, bet ne apie apskritimus ir kampus, kadangi tos sąvokos nėra invariantinės projektyvinių transformacijų atžvilgiu.

Reikia paminėti, kad po pirmosios algebrizacijos revoliucijos analizinėje geometrijoje buvo vienas nepatogumas – reikėjo atskirai pagrįsti gaunamų išvadų nepriklausomumą nuo pasirinktos įrodymams koordinačių sistemos. Taip, pavyzdžiui, žinoma, kad trikampio pusiaukraštinės (medianos) susikerta viename taške. Afininėje geometrijoje mediana yra afininis invariantas, kadangi bet kokį trikampį afinine transformacija galima pervesti į lygiakraštį trikampį. Kleino pasiūlyta metodika parodė, kad tokie invariantai nuo koordinačių sistemos automatiškai nepriklauso.