Eksponentinė funkcija

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Eksponentinė funkcija arba eksponentė – matematinė funkcija, žymima exp(x), kai funkcijos argumentas yra x. Taip pat funkciją galima žymėti e^x, kur e yra matematinė konstanta, kuri yra natūrinio logaritmo pagrindas (apytiksliai lygus 2.72). Funkcijos argumentas gali būti bet koks realusis ar kompleksinis skaičius, ar net visai kitoks matematinis objektas.

Eksponentinė funkcija didėja lėtai neigiamose x reikšmėse ir greitai teigiamose. Kai x = 0, eksponentinės funkcijos reikšmė yra 1.

Kartais terminas eksponentinė funkcija yra naudojamas bendresne prasme - nusakyti rodiklinės formos b^x funkcijas, kur b yra vadinamas pagrindu ir yra bet koks teigiamas realusis skaičius.

Savybės

Kadangi eksponentinė funkcija naudoja kėlimą laipsniu, tai jai galioja tos pačios taisyklės:

$e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}$.

Remiantis taisykle $x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$.

Natūrinis logaritmas yra eksponentinės funkcijos atvirkštinė funkcija:

$\ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}$

Eksponentinės funkcijos diferencialas yra lygus pačiai eksponentinei funkcijai:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$

Tai reiškia, kad eksponentinės funkcijos nuolydis yra pati eksponentinė funkcija, todėl jos krypties koeficientas yra 1, kai $x=0$.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Jei funkcijos argumentas yra realusis skaičius, eksponentė visada įgauna teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad visas funkcijos grafikas eina virš x ašies, niekada jos nepaliesdamas, bet be galo arti priartėdamas. Todėl x ašis vadinama horizontaliąja funkcijos asimptote.

Eksponentinės funkcijos apibrėžimai

Dažniausiai naudojami eksponentinės funkcijos e^x apibrėžimai realiems x:

1. e^x gali būti apibrėžiamas riba

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

2. e^x gali būti apibrėžiamas begaline suma

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

3. e^x gali būti apibrėžiamas unikaliu skaičiumi y > 0, tokiu kad

$\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$

4. e^x gali būti apibrėžiamas kaip unikalus sprendinys diferencialinės lygties

$y'=y,\quad y(0)=1.$