Diferencialas

Diferencialas – funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojama taške x $_{\in }$(a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Funkcijos $f(x)$ diferencialas taške $x_{0}$.

Direfencialas žymimas: $dy=d(f(a))=f'(a)\Delta x$, iš to seka, kad funkcijos pokytis Δy mažai skiriasi nuo jos diferencialo:

$\Delta y\approx \Delta y$

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x². Tos funkcijos išvestinė yra ${\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=$ $={\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x$

$y'=f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x.$

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)²=6Δx + (Δx)²,

čia A = 2x = 6 = f'(x); (Δx)² = o(Δx).

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) – f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y’dx = f'(x)dx; Δx = dx.

Diferencijuojamumui būtina sąlyga yra funkcijos tolydumas. Tačiau ne visos tolydžios funkcijos yra diferencijuojamos. Kaip vienas iš tokių nediferencijuojamų funkcijų pavyzdžių yra Vejerštraso funkcija.

Taip pat skaitykite

• Integralas
• Homogeninės diferencialinės lygtys
• Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygtys
• Bernulio diferencialinė lygtis
• Pilnųjų diferencialų integravimas