Funkcija gali vienu metu turėti vertikalias, horizontalias ir pasvirąsias asimptotes, pvz.,
y
=
x
|
x
|
/
x
+
1
/
x
.
{\displaystyle y=x^{|x|/x}+1/x.}
Kreivė gali kirsti savo asimptotę be galo daug kartų.
Rasime kreivės
y
=
x
2
+
1
x
{\displaystyle y={\frac {x^{2}+1}{x}}}
asimptotes.
Funkcija
x
2
+
1
x
{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{x}}}
neapibrėžta tik kai x=0,
lim
x
→
0
x
2
+
1
x
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+1}{x}}=\infty ,}
taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi
lim
x
→
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
∞
x
2
+
1
x
2
=
1
(
=
k
≠
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}=1(=k\not =0)}
tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi
lim
x
→
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
=
lim
x
→
∞
(
x
2
+
1
x
−
x
)
=
0
=
b
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{2}+1}{x}}-x\right)=0=b,}
tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai
x
→
+
∞
,
{\displaystyle x\rightarrow +\infty ,}
ir kai
x
→
−
∞
.
{\displaystyle x\rightarrow -\infty .}
Rasime kreivės
y
=
x
3
1
−
x
2
{\displaystyle y={\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}}
asimptotes.
Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
, kadangi
lim
x
→
±
1
x
3
1
−
x
2
=
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to \pm 1}{\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}=\infty .}
Kadangi
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
±
∞
x
3
x
(
1
−
x
2
)
=
−
1
(
=
k
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}}{x(1-x^{2})}}=-1(=k),}
lim
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
=
lim
x
→
±
∞
(
x
3
1
−
x
2
+
x
)
=
lim
x
→
±
∞
x
1
−
x
2
=
0
(
=
b
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x^{3}}{1-x^{2}}}+x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x}{1-x^{2}}}=0(=b),}
tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė .
Raskime funkcijos
y
=
−
x
2
−
3
x
+
2
x
+
7
{\displaystyle y={\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}}
asimptotes.
Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes
lim
x
→
−
7
±
0
y
=
±
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to -7\pm 0}y=\pm \infty .}
Apskaičiuosime koeficientus:
k
=
lim
x
→
±
∞
−
x
2
−
3
x
+
2
(
x
+
7
)
⋅
x
=
lim
x
→
±
∞
x
2
(
−
x
2
/
x
2
−
3
x
/
x
2
+
2
/
x
2
)
x
2
(
x
2
/
x
2
+
7
x
/
x
2
)
=
−
1
−
0
+
0
1
+
0
=
−
1
,
{\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-x^{2}-3x+2}{(x+7)\cdot x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}(-x^{2}/x^{2}-3x/x^{2}+2/x^{2})}{x^{2}(x^{2}/x^{2}+7x/x^{2})}}={\frac {-1-0+0}{1+0}}=-1,}
b
=
lim
x
→
±
∞
(
−
x
2
−
3
x
+
2
x
+
7
−
(
−
1
)
⋅
x
)
=
lim
x
→
±
∞
4
x
+
2
x
+
7
=
lim
x
→
±
∞
x
(
4
x
/
x
+
2
/
x
)
x
(
x
/
x
+
7
/
x
)
=
lim
x
→
±
∞
4
+
2
/
x
1
+
7
/
x
=
4.
{\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {-x^{2}-3x+2}{x+7}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x+2}{x+7}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4+2/x}{1+7/x}}=4.}
Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia:
y
=
−
x
+
4.
{\displaystyle y=-x+4.}
Raskime kreivės
y
=
5
x
x
−
3
{\displaystyle y={\frac {5x}{x-3}}}
asimptotes.
Kadangi
lim
x
→
3
5
x
x
−
3
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {5x}{x-3}}=\infty ,}
tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė . Kadangi
lim
x
→
∞
5
x
x
−
3
=
5
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {5x}{x-3}}=5,}
tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė . Kadangi
lim
x
→
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
∞
5
x
−
3
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {5}{x-3}}=0,}
tai pasvirųjų asimptočių nėra.
Rasime kreivės
y
=
x
2
−
6
x
+
3
x
−
3
{\displaystyle y={\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}}
asimptotes.
Kadangi
lim
x
→
3
x
2
−
6
x
+
3
x
−
3
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,}
tai x=3 yra vertikalioji asimptotė . Kadangi
lim
x
→
∞
x
2
−
6
x
+
3
x
−
3
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}=\infty ,}
tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b :
k
=
lim
x
→
∞
x
2
−
6
x
+
3
x
(
x
−
3
)
=
1
,
{\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x(x-3)}}=1,}
b
=
lim
x
→
∞
x
2
−
6
x
+
3
x
−
3
−
x
=
lim
x
→
∞
x
2
−
6
x
+
3
−
x
2
+
3
x
x
−
3
=
lim
x
→
∞
−
3
x
+
3
x
−
3
=
−
3.
{\displaystyle b=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3}{x-3}}-x=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-6x+3-x^{2}+3x}{x-3}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-3x+3}{x-3}}=-3.}
Pasviroji asimptotė yra
y
=
x
−
3.
{\displaystyle y=x-3.}
Raskime funkcijos
y
=
2
x
3
x
2
−
4
{\displaystyle y={\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}}
asimptotes.
Tiesės
x
=
±
2
{\displaystyle x=\pm 2}
yra vertikaliosios asimptotės , nes
lim
x
→
±
2
2
x
3
x
2
−
4
=
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to \pm 2}{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty .}
Kadangi
lim
x
→
∞
2
x
3
x
2
−
4
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}-4}}=\infty ,}
tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
Kadangi
k
=
lim
x
→
±
∞
y
x
=
lim
x
→
±
∞
2
x
2
x
2
−
4
=
2
,
b
=
lim
x
→
±
∞
(
y
−
2
x
)
=
lim
x
→
±
∞
8
x
x
2
−
4
=
0
,
{\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {2x^{2}}{x^{2}-4}}=2,\qquad b=\lim _{x\to \pm \infty }(y-2x)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {8x}{x^{2}-4}}=0,}
tai tiesė
y
=
2
x
{\displaystyle y=2x}
yra pasviroji asimptotė .
Rasime kreivės
y
=
x
3
2
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle y={\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}}
asimptotes.
Kadangi
lim
x
→
−
1
±
0
y
=
−
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to -1\pm 0}y=-\infty ,}
tai tiesė
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
yra vertikalioji asimptotė. Kadangi
lim
x
→
±
∞
y
=
±
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }y=\pm \infty ,}
tai horizontaliųjų asimptočių nėra.
k
=
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
±
∞
x
2
2
(
x
+
1
)
2
=
1
2
,
{\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{2}}{2(x+1)^{2}}}={\frac {1}{2}},}
b
=
lim
x
→
±
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
=
lim
x
→
±
∞
[
x
3
2
(
x
+
1
)
2
−
1
2
x
]
=
1
2
lim
x
→
±
∞
x
3
−
x
(
x
2
+
2
x
+
1
)
(
x
+
1
)
2
=
{\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to \pm \infty }\left[{\frac {x^{3}}{2(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{2}}x\right]={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {x^{3}-x(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}}=}
=
1
2
lim
x
→
±
∞
−
2
x
2
−
x
(
x
+
1
)
2
=
−
1.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{2}-x}{(x+1)^{2}}}=-1.}
Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę
y
=
1
2
x
−
1.
{\displaystyle y={\frac {1}{2}}x-1.}
Raskime kreivės
y
=
x
2
x
2
−
1
{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
asimptotes.
lim
x
→
±
1
±
0
f
(
x
)
=
∞
,
{\displaystyle \lim _{x\to \pm 1\pm 0}f(x)=\infty ,}
todėl tiesės
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
ir
x
=
1
{\displaystyle x=1}
yra vertikaliosios asimptotės .
Kadangi
k
=
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
+
∞
x
x
2
−
1
=
1
,
{\displaystyle k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=1,}
b
=
lim
x
→
+
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
=
lim
x
→
+
∞
(
x
2
x
2
−
1
−
x
)
=
lim
x
→
+
∞
x
(
x
−
x
2
−
1
)
x
2
−
1
=
{\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}
=
lim
x
→
+
∞
x
(
x
2
−
(
x
2
−
1
)
)
x
2
−
1
(
x
+
x
2
−
1
)
=
lim
x
→
+
∞
1
x
2
−
1
(
1
+
1
−
1
/
x
2
)
=
0
,
{\displaystyle =\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(x^{2}-(x^{2}-1))}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}-1}}(1+{\sqrt {1-1/x^{2}}})}}=0,}
tai tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
yra pasviroji asimptotė . Be to
k
=
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
x
=
lim
x
→
−
∞
x
x
2
−
1
=
−
1
;
{\displaystyle k=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=-1;}
b
=
lim
x
→
−
∞
[
f
(
x
)
−
k
x
]
=
lim
x
→
−
∞
(
x
2
x
2
−
1
−
(
−
1
)
⋅
x
)
=
lim
x
→
−
∞
x
(
x
+
x
2
−
1
)
x
2
−
1
=
{\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }[f(x)-kx]=\lim _{x\to -\infty }\left({\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}-(-1)\cdot x\right)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}{\sqrt {x^{2}-1}}}=}
=
lim
x
→
−
∞
x
x
2
−
1
(
x
−
x
2
−
1
)
=
lim
x
→
−
∞
−
|
x
|
x
2
−
1
(
−
|
x
|
−
x
2
−
1
)
=
{\displaystyle =\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}-1}}(x-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {-|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(-|x|-{\sqrt {x^{2}-1}})}}=}
=
lim
x
→
−
∞
|
x
|
x
2
−
1
(
|
x
|
+
x
2
−
1
)
=
lim
x
→
−
∞
1
x
2
/
x
2
−
1
/
x
2
(
|
x
|
+
x
2
−
1
)
=
0
,
{\displaystyle =\lim _{x\to -\infty }{\frac {|x|}{{\sqrt {x^{2}-1}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}/x^{2}-1/x^{2}}}(|x|+{\sqrt {x^{2}-1}})}}=0,}
todėl ir tiesė
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
yra pasviroji asimptotė .