Aritmetinė progresija

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Matematikoje aritmetinė progresija – tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra $a_{1}$, o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus d, tai n-tąjį progresijos narį ($a_{n}$) galima apskačiuoti pagal formulę:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

o bendruoju atveju pagal formulę:

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, kartais dar vadinama baigtine aritmetine progresija. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo d. Jei skirtumas yra

• Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
• Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Suma

Baigtinės aritmetinės progresijos narių suma yra vadinama skaičių eilute. Ši progresijos suma

$2+5+8+11+14$

gali būti lengvai apskaičiuojama pagal formulę

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}},$

kur n – sudedamų narių skaičius, o $a_{1}+a_{n}$ – pirmojo ir ntojo narių suma. Taigi pateiktos skaičių eilutės radimas:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\cdot 16}{2}}=40.$

Išvedimas

Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Sudėjus abi puses gaunama lygybė:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.$

Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačiusn-tojo nario formulę $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:

$S_{n}={\frac {n(2a_{1}+(n-1)d)}{2}}.$

Skaičių eilutės vidurkio radimas per formulę $S_{n}/n$:

${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

499 m. pr. m. e. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale Aryabhatiya (2.18 skyrius).