Trapecija

Trapecija (gr. τραπέζιον – staliukas) – keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės gali būti nelygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, kitos dvi kraštinės – šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. atkarpa, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

1 pav. Įvairiakraštė trapecija

Aplink trapeciją apibrėžti apskritimą galima tik tada, jeigu ji yra lygiašonė.

Trapecijų rūšys

Lygiašonė trapecija

2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs:$\angle A=\angle D,\angle B=\angle C$

$\angle A+\angle B=180$ laipsnių. $\angle C+\angle D=180$ laipsnių.

Jeigu į lygiašonę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, tai jos aukštinė h yra lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:

$h={\sqrt {ab}}$

Stačioji trapecija

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios $BA\perp AD$

3 pav. Stačioji trapecija

Trapecijos savybės

• Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
• Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
• Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

Trapecijos elementų žymėjimas

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=$d_{1}$,AC=$d_{2}$ – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

4 pav. Trapecijos elementai

Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

$m\|\;a$, $m\|\;b$; $m={\frac {a+b}{2}}\;$

Trapecijos įstrižainių radimas:

$d_{1}={\sqrt {ab+{\frac {d^{2}a-c^{2}b}{a-b}}}}\;$; $d_{2}={\sqrt {ab+{\frac {c^{2}a-d^{2}b}{a-b}}}}\;$

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

$EF={\frac {2ab}{a+b}}\;$

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

$P=a+b+c+d\;$; $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

$S=mh\;$,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

$S={\frac {(a+b)}{2}}h$,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

$S={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {a+b}{a-b}}\ {\sqrt {a-b+c+d}}\ {\sqrt {a-b-c+d}}\ {\sqrt {a-b+c-d}}\ {\sqrt {-a+b+c+d}},$

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

$S={\frac {1}{2}}\;$$d_{1}d_{2}\;$$\sin \varphi \;$

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Trapezoid, MathWorld. (angl.)

Vikižodynas