Riba (matematika)

Riba – pamatinė matematinės analizės sąvoka, kuri intuityviai suvokiama kaip reikšmė, prie kurios matematinė funkcija „artėja“, kai funkcijos argumentas artėja prie tam tikros reikšmės. Ribos yra plačiai naudojamos daugelyje matematikos sričių, įskaitant integralinį ir diferencialinį skaičiavimą, apibrėžiant funkcijos tolydumą, išvestines ir integralus.

Ribos formulių pavidalu dažnai yra rašomos taip:

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

skaitoma taip: „funkcijos f, kurios argumentas x artėja prie c, riba yra lygi L“. Čia „lim“ reiškia lotynų kalbos žodį limit (ribą). Faktas, jog funkcija f(x) artėja prie ribos L kai x artėja prie c yra vaizduojamas rodykle į dešinę pusę (→):

$f(x)\to L,\ {\text{ kai }}x\to c.$

Funkcijos riba

Kai taškas x nuo c yra ne toliau nei per δ, reikšmė f(x) nutolusi nuo L ne daugiau nei per ε.

Sakykime f yra realias reikšmes įgyjanti funkcija, o $c$ yra realusis skaičius. Intuityviai kalbant, užrašas

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

reiškia, kad f(x) galima priartinti kaip norima arti L, priartinant x prie c. Šiuo atveju pastarąją formulę galima skaityti „funkcijos f riba, kai x artėja prie c, yra L“. Taip pat sakoma kad „funkcijos f riba taške c yra L“.

Matematikas Ogiuestenas-Lui Koši (Augustin-Louis Cauchy) 1821 metais, o vėliau ir matematikas Karlas Vaierštrasas (Karl Weierstrass), pateikė griežtą ribos apibrėžimą, kuris dabar kartais vadinamas (ε, δ) ribos apibrėžimu: pagal šį apibrėžimą, $\lim _{x\to c}f(x)=L$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas skaičius ε, kad visiems x tenkinantiems $0<|x-c|<\delta$ galioja |f(x) − L| < ε.

Apibrėžime raidė ε (mažoji graikų alfabeto raidė epsilon) žymi bet kokį mažą teigiamą skaičių, taigi „f(x) kaip norima priartėja prie L“ reiškia, kad f(x) galiausiai patenka į intervalą (L − ε, L + ε), ką taip pat galima užrašyti naudojant absoliučios reikšmės ženklą kaip |f(x) − L| < ε. Frazė „kai x artėja prie c“ nurodo, kad turimos omenyje kintamojo x reikšmės, nutolusios nuo skaičiaus c mažesniu atstumu nei tam tikras teigiamas skaičius δ (mažoji graikų alfabeto raidė delta) – tai yra, kai x priklauso arba (c − δ, c) arba (c, c + δ), ką kitaip galime užrašyti $0<|x-c|<\delta$. Iš pirmosios nelygybės išplaukia, jog $x\neq c$.

Ši funkcija taške $c=-4$ nėra apibrėžta, tačiau turi ribą, +∞ arba -∞, priklausomai nuo to, iš kurios pusės artėjama. Funkcijos riba artėjant į bet kurio ženklo begalybę lygi 4.

Iš ribos egzistavimo neišplaukia, jog f(c)=L. Funkcija netgi neturi būti apibrėžta taške c.

Visiems x > S, reikšmė f(x) nutolusi nuo L atstumu ε.

Aukščiau nurodytas apibrėžimas turi prasmę, kai c yra baigtinis skaičius, tačiau ribą galima apibrėžti ir kai c lygus +∞ ar -∞. Šiuo atveju $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$ reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas („didelis“) skaičius S, kad visiems x tenkinantiems $x>S$ galioja |f(x) − L| < ε (analogiškai $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$, jei |f(x) − L| < ε galioja visiems x tenkinantiems $x<-S$).

Verta pastebėti, kad ribos apibrėžimas begaliniuose taškuose nėra iš esmės kitoks, kadangi natūrali baigtinio skaičiaus c aplinka yra intervalų (c − δ, c) ir (c, c + δ) sąjunga, o begalybės +∞ aplinka yra intervalas pavidalo (S, +∞) (bei begalybės -∞ aplinka yra intervalas pavidalo (-∞, S). Šis pastebėjimas leidžia natūraliai pratęsti ribos sąvoką funkcijoms apibrėžtoms topologinėse erdvėse, negriežtai šnekant, aibėse, kuriose apibrėžta aplinkų struktūra.