Mišrioji sandauga

Mišrioji vektorių sandauga – trinarė vektorių operacija, kurios rezultatas yra dviejų vektorių a ir b vektorinės sandaugos ir trečiojo vektoriaus c skaliarinė sandauga.

Apibrėžimas

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (a × b)·c. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

Mišriosios sandaugos skaičiavimas

Tegu vektorių a, b ir c koordinatės yra (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z) ir (c_x, c_y, c_z). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio trys kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0) ir c = (1; 1; 1), tūrį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:

$V=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{vmatrix}}=1$

Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

Savybės

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:

1. $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} =(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =-(\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {a} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {c} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {b}$;
2. Jeigu vektoriai a, b ir c yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =0$
3. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} >0$
4. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} <0$

Taikymai

Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrio V_3p skaičiavimo formulė yra:

$V_{3p}={\frac {1}{6}}|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |$

Tarkime, turime keturkampę piramidę EABDC, kurios pagrindą ABCD sudaro vektoriai AB = a ir AD = b, o šoninė kraštinė AE = c. Šios piramidės tūrio V_4p skaičiavimo formulė yra:

$V_{4p}={\frac {1}{3}}|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |$

Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė h, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai a ir b, gali būti apskaičiuota pagal formulę:

$h={\frac {|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |}{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}$

Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarumui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.