Menamasis vienetas

Menamasis vienetas (arba tariamasis vienetas) – skaičius $i$ (kartais $j$), praplečiantis realiųjų skaičių aibę $\mathbb {R}$ iki kompleksinių skaičių aibės $\mathbb {C}$.

Skaičius $i$ kompleksinėje arba Dekarto plokštumoje. Realieji skaičiai yra horizontalioje ašyje, o menamieji – vertikalioje.

Tariamasis vienetas įvestas daugiausia todėl, jog ne kiekviena polinominė lygybė f(x) = 0 turi sprendimą realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, lygybė x² + 1 = 0 neturi realaus sprendinio. Praplėtus realiųjų skaičių aibę menamuoju (tariamuoju vienetu), kiekviena tokia lygybė turi sprendinį naujoje kompleksinių skaičių aibėje. Žinomi sprendiniai neretai padeda lengviau dirbti su tokiomis lygtimis.

Dažnai sakoma, kad $i={\sqrt {-1}}$ tačiau tai ne visai tikslu nes yra dvi reikšmės kurias pakėlę kvadratu gauname -1: i ir -i.

Skaičių ${\sqrt {-1}}$ vadinti menamuoju vienetu XVII a. pasiūlė prancūzų matematikas, fizikas ir filosofas Renė Dekartas, o XVIII a. Leonardas Oileris įvedė šio skaičiaus įprastą žymėjimą $i$, siejamą su prancūzų kalbos žodžui imaginaire.

Apibrėžimas

Pagal apibrėžimą menamasis vienetas $i$ yra vienas iš kvadratinės lygties

$x^{2}+1=0\$

arba

$x^{2}=-1\$

sprendinių.

Kadangi nėra realiojo skaičiaus, kuris pakeltas kvadratu duotų neigiamą realų skaičių, mes galime įsivaizduoti jį (tarti jį egzistuojant – iš čia ir pavadinimas menamasis arba tariamasis vienetas) egzistuojant ir priskirti jam simbolį $i$. Tačiau $i$ yra tokia pat lygiavertė matematinė abstrakcija, kaip ir realusis skaičius, nors, aišku, jį sunkiau intuityviai suvokti.

i ir −i

Kadangi $x^{2}=-1$ tai antros eilės polinomas, lygtis turi du skirtingus sprendinius: vienas $i$, kitas −$i$ ≠ $i$. Kadangi kvadratinė lygtis yra vienintelis $i$ apibrėžimas, atrodo, kad jis nevienareikšmis. Tačiau jokių dviprasmybių nelieka, jei pasirenkamas vienas iš sprendinių ir deklaruojamas kaip „teigiamas $i$“. Tai yra dėl to kad nors −$i$ ir $i$ nėra kiekybiškai vienodi (vienas neigiamas, kitas teigiamas), tačiau kokybiškai jie nesiskiria (tačiau to negalima pasakyti apie −1 ir +1): abu menamieji skaičiai turi vienodas teises būti −1 kvadratu. Jei visose matematinėse knygose apie kompleksinius skaičius pakeisti +$i$ į −$i$, visi faktai ir teoremos išliks teisingomis. Taigi, nė viena vertė nėra svarbesnė už kitą, o pažymėjimas vieną „teigiama“ tėra tik užrašymo rudimentas.

Ši problema matematine prasme gana subtili. Nors kompleksinių skaičių laukas apibrėžtas kaip R[X]/ (X² + 1), iš tiesų yra du R[X]/ (X² + 1) automorfizmai, pats X ir automorfizmas, atvaizduojantis X į −X.

Panaši problema atsiranda, kai kompleksiniai skaičiai yra vaizduojami kaip 2 × 2 realiosios matricos, kadangi tiek

$X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}$

tiek ir

$X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}$

yra matricinės lygties sprendiniai:

$X^{2}=-I\$ .

Šiuo atveju nevienareikšmiškumas atsiranda dėl geometrinio teigiamos krypties apskritime pasirinkimo. Matematiškai išsireiškus, grupės SO (2, R) automorfizmas turi du elementus – vienetą ir automorfizmą, kuris sukeičia vietomis pasukimus kryptimis pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę.

Visų šių nevienareikšmiškumų yra išvengiama, jei įvedama griežtesnis kompleksinio skaičiaus apibrėžimas, kuomet išreikštai pasirenkamas vienas iš sprendinių kaip menamasis vienetas.

Menamasis vienetas kartais yra užrašomas ${\sqrt {-1}}$, tačiau kompleksinių skaičių aibėje šaknies operaciją reikia naudoti labai atidžiai. Pagrindinė perspėjimo priežastis yra ta, kad šaknies operacija nėra vienareikšmis atvaizdavimas: pagal Muavro formulę yra lygiai n skirtingų n-tojo laipsnio šaknų iš kompleksinio skaičiaus. Visos šios šaknys sudaro aibę iš n elementų. Taigi ir ${\sqrt {-1}}$ formaliai yra aibė, sudaryta iš dviejų elementų (i ir -i), o užrašas $i={\sqrt {-1}}$ reikštų, kad skaičius yra lygus aibei.