Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

čia integracijos kelias išilgai yra prieš laikrodžio rodyklę.[1][2]

Pavyzdžiai redaguoti

  • Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą   kur L - apskritimas  
Funkcijos     ir   netrūkios uždarame rate   Todėl pagal Gryno teoremą turime (   ):

   

  • Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

  kai L - apskritimas   (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje   funkcijos   ir   bei jų dalinės išvestinės   ir   yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime:   Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas   kinta nuo   iki   Vadinasi (     ),     kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas redaguoti

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:   Jos išvedamos šitaip:

 
  • Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei     Tada   Pagal formulę turime:

  Integralas   lygus paaviršiui srities D , todėl,  

  • Sakykime,     analoginiu budu randame, kad

 

  • Ir, pagaliau, paėmę funkcijas   gauname formulę

 

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime plotą apribotą elipse   pagal formulę   Panaudoję parametrinę lygtį elipsės:         gauname:

 

Jėgos darbas redaguoti

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę   Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:  

  • Apskaičiuosime darbą jėgos   persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
Pagal sąlyga,   Jėgos F(x, y) koordinatės tokios:     [ženklas " " paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime   kur L - elipsė       Todėl

   

Jei t keistusi nuo 0 iki   integralas butu lygus  

Taip pat skaitykite redaguoti

Šaltiniai redaguoti

  1. Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  2. Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd leid.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.