Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas . Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi .
Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo .
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y . {\displaystyle \iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.}
čia integracijos kelias išilgai L {\displaystyle L} yra prieš laikrodžio rodyklę.[1] [2]
Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą ∮ L ( x − y ) d x + ( x + y ) d y , {\displaystyle \oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy,} kur L - apskritimas x 2 + y 2 = R 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.} Funkcijos P ( x , y ) = x − y , {\displaystyle P(x,y)=x-y,} Q ( x , y ) = x + y {\displaystyle Q(x,y)=x+y} ir ∂ P ∂ y = − 1 , ∂ Q ∂ x = 1 {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=1} netrūkios uždarame rate x 2 + y 2 = R 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.} Todėl pagal Gryno teoremą turime (ρ 2 = R 2 , {\displaystyle \rho ^{2}=R^{2},} ρ = R {\displaystyle \rho =R} ): ∮ L ( x − y ) d x + ( x + y ) d y = ∬ D [ 1 − ( − 1 ) ] d x d y = 2 ∬ D d x d y = 2 s = 2 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 R ρ d ρ = {\displaystyle \oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\iint _{D}[1-(-1)]dxdy=2\iint _{D}dxdy=2s=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho d\rho =}
= ∫ 0 2 π ρ 2 | 0 R d ϕ = R 2 ∫ 0 2 π d ϕ = R 2 ϕ | 0 2 π = 2 π R 2 . {\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}|_{0}^{R}d\phi =R^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi =R^{2}\phi |_{0}^{2\pi }=2\pi R^{2}.}
Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą ∫ L x y d x + ( x 2 + y 2 ) d y , {\displaystyle \int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy,}
kai L - apskritimas x 2 + y 2 = a x {\displaystyle x^{2}+y^{2}=ax} (a>0), apeinamas teigiama kryptimi.
Kadangi skritulyje x 2 + y 2 ≤ a x {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq ax} funkcijos P ( x , y ) = x y {\displaystyle P(x,y)=xy} ir Q ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle Q(x,y)=x^{2}+y^{2}} bei jų dalinės išvestinės ∂ P ∂ y = x {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=x} ir ∂ Q ∂ x = 2 x {\displaystyle {\partial Q \over \partial x}=2x} yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.
Turime:
∫ L x y d x + ( x 2 + y 2 ) d y = ∬ D ( 2 x − x ) d x d y = ∬ D x d x d y . {\displaystyle \int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)dxdy=\iint _{D}xdxdy.}
Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas ϕ {\displaystyle \phi } kinta nuo − π 2 {\displaystyle -{\pi \over 2}} iki π 2 . {\displaystyle {\pi \over 2}.} Vadinasi (x = ρ cos ϕ , {\displaystyle x=\rho \cos \phi ,} ρ 2 = a ρ cos ϕ , {\displaystyle \rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,} ρ = a cos ϕ {\displaystyle \rho =a\cos \phi } ),
∫ D x d x d y = ∬ D ρ 2 cos ϕ d ρ d ϕ = ∫ − π 2 π 2 cos ϕ d ϕ ∫ 0 a cos ϕ ρ 2 d ρ = ∫ − π 2 π 2 cos ϕ ρ 3 3 | 0 a cos ϕ d ϕ = {\displaystyle \int _{D}xdxdy=\iint _{D}\rho ^{2}\cos \phi d\rho d\phi =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }\rho ^{2}d\rho =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{a\cos \phi }d\phi =}
= a 3 3 ∫ − π 2 π 2 cos 4 ϕ d ϕ = 2 a 3 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ϕ d ϕ = 2 a 3 3 ⋅ 3 ! ! 4 ! ! ⋅ π 2 = π a 3 8 , {\displaystyle ={a^{3} \over 3}\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\pi a^{3} \over 8},}
kur pasinaudojome dvigubu faktorialu .
Ploto apskaičiavimas
redaguoti
Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:
D = ∮ L − y d x = ∮ L x d y = 1 2 ∮ L x d y − y d x . {\displaystyle D=\oint _{L}-ydx=\oint _{L}xdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.}
Jos išvedamos šitaip:
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y . {\displaystyle \iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.} Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei P ( x , y ) = − y , {\displaystyle P(x,y)=-y,} Q ( x , y ) = 0. {\displaystyle Q(x,y)=0.} Tada ∂ P ∂ y = − 1 , ∂ Q ∂ x = 0. {\displaystyle {\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=0.} Pagal formulę turime: ∬ D ( 0 + 1 ) d x d y = ∮ L − y d x + 0 d y . {\displaystyle \iint _{D}(0+1)dxdy=\oint _{L}-ydx+0dy.}
Integralas ∬ D d x d y {\displaystyle \iint _{D}dxdy} lygus paaviršiui srities D , todėl,
D = ∬ D d x d y = − ∮ L y d x . {\displaystyle D=\iint _{D}dxdy=-\oint _{L}ydx.}
Sakykime, P ( x , y ) = 0 , {\displaystyle P(x,y)=0,} Q ( x , y ) = x , {\displaystyle Q(x,y)=x,} analoginiu budu randame, kad D = ∮ L x d y . {\displaystyle D=\oint _{L}xdy.}
Ir, pagaliau, paėmę funkcijas P ( x , y ) = − 1 2 y , Q ( x , y ) = 1 2 x , {\displaystyle P(x,y)=-{1 \over 2}y,\;Q(x,y)={1 \over 2}x,} gauname formulę D = ∬ D ( 1 2 + 1 2 ) d x d y = ∬ D d x d y = 1 2 ∮ L x d y − y d x . {\displaystyle D=\iint _{D}({1 \over 2}+{1 \over 2})dxdy=\iint _{D}dxdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.}
Pavyzdžiai
Apskaičiuosime plotą apribotą elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,} pagal formulę D = ∮ L x d y . {\displaystyle D=\oint _{L}xdy.} Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: x = a cos t , {\displaystyle x=a\cos t,} y = b sin t , {\displaystyle y=b\sin t,} 0 ≤ t ≤ 2 π , {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,} d y = b cos t , {\displaystyle dy=b\cos t,} gauname: D = ∮ L x d y = ∫ 0 2 π a cos t b cos t d t = a b 2 ∫ 0 2 π ( 1 + cos ( 2 t ) ) d t = a b 2 ( 2 π + sin ( 2 t ) 2 | 0 2 π ) = π a b . {\displaystyle D=\oint _{L}xdy=\int _{0}^{2\pi }a\cos tb\cos tdt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(2t))dt={ab \over 2}(2\pi +{\sin(2t) \over 2}|_{0}^{2\pi })=\pi ab.}
Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę
A = ∫ B C P d x + Q d y . {\displaystyle A=\int _{BC}Pdx+Qdy.}
Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:
A = ∫ B C P d x + Q d y + R d z . {\displaystyle A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.}
Apskaičiuosime darbą jėgos F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro. Pagal sąlyga, | F ( x , y ) | = x 2 + y 2 ; {\displaystyle |F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};} Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: P = − x , {\displaystyle P=-x,} Q = − y {\displaystyle Q=-y} [ženklas "− {\displaystyle -} " paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime A = − ∮ L x d x + y d y , {\displaystyle A=-\oint _{L}xdx+ydy,} kur L - elipsė x = a cos t , {\displaystyle x=a\cos t,} y = b sin t , {\displaystyle y=b\sin t,} 0 ≤ t ≤ 2 π . {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .} Todėl A = − ∫ 0 2 π a cos t ( − a sin t ) d t + b sin t b cos t d t = − ∫ 0 2 π ( b 2 − a 2 ) sin t cos t d t = {\displaystyle A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin tb\cos tdt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin t\cos tdt=}
= a 2 − b 2 2 ∫ 0 2 π sin ( 2 t ) d t = a 2 − b 2 4 ( − cos ( 2 t ) ) | 0 2 π = 0. {\displaystyle ={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.}
Jei t keistusi nuo 0 iki π 2 , {\displaystyle {\pi \over 2},} integralas butu lygus a 2 − b 2 4 ( − cos ( 2 t ) ) | 0 π 2 = a 2 − b 2 2 . {\displaystyle {a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.} Taip pat skaitykite
redaguoti