Fraktalas

Fraktalas – sudėtinis geometrinis darinys, kurio atskiri fragmentai yra panašūs arba identiški visumai arba kitiems fragmentams. Pagrindinė fraktalų bendra savybė yra panašumas į save, t. y. išdidinta maža geometrinės struktūros dalis atrodo identiška didesnei daliai. Fraktalo geometrinės charakteristikos yra nepakankamai nuoseklios, dėl to negali būti nusakomos įprasta Euklidinės geometrijos kalba. Prancūzų-Amerikiečių matematikas Benoît Mandelbrot 1975 m. pastarojo reiškinio apibūdinimui pritaikė Lotynų kalbos žodį fractus (liet. suskaldytas). Fraktalinių darinių savybių tyrimas matematikoje iškėlė naujus klausimus ir sukūrė vadinamąją matavimų teoriją, susijusią su objektų matavimu.

Menger kempinė – pirmasis matematikų nagrinėtas trimatis fraktalas.

Istorija

Mandelbroto aibė.

Fraktalų savybėmis pasižymintys objektai buvo pastebėti gamtoje ir nuo seno naudojami figūratyviniame vaizdavime. Tradicinė afrikietiškų dirbinių puošyba yra vienas būdingiausių pastarojo vaizdavimo pavyzdžių. 1525 m. Albrechto Diurerio publikuotas Tapytojo vadovas vaizdavo „penkiakampių dėliones“, suformuotas panašiu principu kaip Sierpinskio kilimas, tik Dürer piešiniuose buvo naudojami ne kvadratai, o penkiakampiai. Nuo XX a. IX dešimtmečio kompiuteriais pradėtas kurti fraktalinis menas.

Fraktalų principai buvo suprasti ir apibūdinti matematikų tik XIX a. pabaigoje, XX a. pradžioje. 1872 m. Karl Weierstrass sukūrė funkciją, kurios grafikas šiais laikais būtų apibūdinamas kaip fraktalas. 1904 m. Helge von Koch, nepatenkintas Weierstrass labai abstrakčiu ir analitiniu apibūdinimu, pateikė panašios funkcijos geometrinę išraišką, kuri dabar vadinama Koch snaige. 1915 m. Wacław Sierpiński sukonstravo jo paties vardu pavadintą trikampį, o po metų kilimą. Panašios į save kreivės koncepcija buvo vystoma Paul Pierre Lévy jo 1938 m. publikuotame straipsnyje Plokštuminės ir erdvinės kreivės ir paviršiai susidedantys iš dalių atkartojančių visumą, aprašė naujai atrastą fraktalinę kreivę, pavadintą Lévy C kreive. Georg Cantor taip pat pateikė neįprastomis savybėmis pasižyminčių poaibių pavyzdžius, kurie šiais laikais priskiriami prie fraktalinių darinių. Iteracinių funkcijų sudėtingose plokštumose savybės, XIX a. pabaigoje, XX a. pradžioje, buvo tiriamos Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou ir Gaston Julia. Tačiau tik modernios kompiuterinės grafikos pagalba tapo įmanoma vizualizuoti pastarųjų mokslininkų atrastas funkcijas ir atskleisti jų grafikos nepaprastą grožį.

1960 m. Benoît Mandelbrot, remdamasi ankstesniais Lewis Fry Richardson darbais, pradėjo tirti panašumą į save ir darbo rezultatus publikavo straipsnyje Koks Britanijos kranto ilgis? Statistinis panašumas į save ir frakcinis matmuo. 1975 m. B. Mandelbrot panaudojo žodį „fraktalas“ objekto, kurio Hausdorff-Besicovitch matmuo yra didesnis už jo topologinį matmenį, apibūdinimui. Savo matematines koncepcijas jis iliustravo stulbinančiomis, kompiuteriu generuotomis iliustracijomis.

Atrodžiusi vien loginiu ir estetiniu užsiėmimu fraktalų teorija apie 2000 m. susilaukė ir konkretaus pritaikymo - mažinant mobiliųjų telefonų dydį buvo pasiūlyta telefono viduje montuoti fraktalo pavidalo antenas, kurios pasirodė ne mažiau efektyvios už išorines. Taip pat fraktalų savybė atkartoti save pačius buvo pritaikyta paveikslėlių glaudinimui ir dabar naudojama persiunčiant palydovų nuotraukas atgal į Žemę (patentas).

Klasifikavimas

Fraktalai gali būti klasifikuojami pagal savipanašumo bruožą. Egzistuoja trijų tipų fraktalų savipanašumas:

• Tikslus savipanašumas – stipriausio tipo savipanašumas. Fraktalas atrodo identiškai, nepriklausomai nuo mastelio. Tokio tipo fraktalai dažniausiai gaunami naudojant iteracines funkcijas.
• Apytikslis savipanašumas – atskiros tikslaus savipanašumo formos, kai fraktalas turi dalinį (bet ne identišką) savipanašumą esant skirtingam masteliui. Tokio tipo fraktalai būna sukonstruoti naudojant rekurentinius ryšius.
• Statistinis savipanašumas – silpniausio tipo savipanašumas. Šiam tipui priskiriami atsitiktiniai fraktalai.

Fraktalų kūrimo metodai

Fraktalai yra rūšiuojami į šias keturias grupes:

• Orbitiniai fraktalai – jie nusakomi pagal formulę arba rekurentinį ryšį kiekvienam erdvės taškui (pvz., kompleksinėje erdvėje) Tai Mandebroto ir Julia aibės, Nova ir Liapunovo fraktalai.
• Iteruotųjų funkcijų sistemos – jos turi nekintančią geometrinio pakeičiamumo taisyklę. Kantoro aibė, Sierpinskio kilimas, Peano kreivė, Kocho snaigė, T-kvadratas, Mengerio kempinė tai tik keletas tokiu būdu sudarytų fraktalų.
• Atsitiktiniai fraktalai – fraktalų generavimas stochastiniu principu. Tai Brauno judėjimas, Lévy skrydis, fraktalinis kraštovaizdis ir Brauno medis.
• Atraktorius – sugeneruoti naudojantis iteracijų žemėlapiu, kurios išeities objektas yra netiesinė diferencialinė lygtis, kuri turi savyje chaotinių savybių.

Nuorodos

Nuorodos lietuvių kalba

• Fraktalai: apibrėžimas, savybės, konstravimas, pavyzdžiai Archyvuota kopija 2007-05-18 iš Wayback Machine projekto.
• KIKAItachi fraktalai: fraktalų galerija Archyvuota kopija 2010-03-01 iš Wayback Machine projekto.
• Fraktalų galerija ir generatorius, paremtas iteruotųjų funkcijų sistemos metodu