Cikloidė

Ciklòidė (gr. kykloeidēs – apskritimo formos) – plokščia kreivė, kurią brėžia apskritimo taškas, kai tas apsikirtimas neslysdamas rieda tiese.

Cikloidė, generuojama riedančio apskritimo.

Formulės

• Cikloidės parametrinis pavidalas (r – cikloidę generuojančio apskritimo spindulys, t – parametras):

$x=r(t-\sin t),\,$

$y=r(1-\cos t),\,$

Pirmoji cikloidės arka gaunama, kai 0≤ t ≤2π.

• Cikloidės lygtis dekarto koorinačių plokštumoje (r – cikloidę generuojančio apkritimo spindulys):

$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}$

• Cikloidė taip pat gaunama kaip diferencialinės lygties sprendinys (r – cikloidę generuojančio apkritimo spindulys):

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.$

• Cikloidės plotas (r – cikloidę generuojančio apkritimo spindulys):

${\begin{aligned}S&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}$

• Vienos arkos lanko ilgis (r – cikloidę generuojančio apkritimo spindulys):

${\begin{aligned}L&=8r.\end{aligned}}$

Keturi kamuoliukai rieda cikloidės paviršiumi iš skirtingų pradinių padėčių, tačiau pasiekia kreivės apačią tuo pačiu metu (tautochronė).

Savybės

• Cikloidė – periodinė kreivė, kurios periodas 2πk (k – nepriklausomas sveikasis kintamasis).
• Tai taip pat brachistochronà (gr. brachistos – trumpiausias + chronos– laikas), t. y. trumpiausio kritimo kreivė, kuria svorio veikiamas materialus taškas, slinkdamas be trinties, greičiausiai nuslenka iš viršutinio taško į apatinį.

• Cikloidė yra tautochrònė (gr. tauto – tas pats + chronos – laikas) – svorio veikiamo materialaus taško svyravimo trajektorija, kai svyravimo trukmė nepriklauso nuo amplitudės. Tai reiškia, kad taškas cikloidės arkos žemiausią tašką pasieks per tokį patį laiką iš bet kurios pradinės padėties.

Cikloidinės švytuoklės schematinis brėžinys.

Istorija

Cikloidę pradėjo tyrinėti Nikolajus Kuzietis, o 1599 m. Galilėjus šiai kreivei suteikė pavadinimą.

1634 m. Žilesas de Robervalis matematiškai įrodė, kad cikloidės arkos plotas lygus trims ją sugeneravusio apskritimo plotams, o 1658 m. Kristoferis Vrenas įrodė, kad vienos cikloidės arkos lanko ilgis keturis kartus didesnis nei ją sugeneravusio apskritimo skersmuo.

Faktą, kad cikloidė yra tautochronė XVII a. atrado danų matematikas Kristianas Heigensas ir pritaikė švytuokliniams laikrodžiams taip sumažindamas laiko skaičiavimo paklaidą nuo 15 min. per dieną iki 15 s. Būtent dėl šio atradimo švytuokliniai laikrodžiai buvo laiko skaičiavimo etalonu net 270 metų, iki 1927 m., kai buvo išrastas kvarcinis laikrodis.